Вопросы. Задача о вычислении массы кривой

Задача о вычислении массы кривой

План

1. Задача о вычислении массы кривой
2. Определение криволинейного интеграла І рода
3. Сведение криволинейного интеграла І рода к интегралу Римана

Пусть на плоскости задана непрерывная простая спрямляемая кривая некоторой массы (рис.1), известна функция ее линейной плотности во всех точках кривой. Необходимо определить массу всей кривой.

Разобьем кривую на части произвольно выбранными на ней точками (рис.1). Для определенности будем считать, что точки

Занумерованы в направлении от до (можно и наоборот). На каждой частичной дуге выберем произвольно точку, с координатами (рис.1). Вычислим в точках, значения. Будем считать, что в каждой точке частичной дуги такая же плотность. Обозначим длину дуги. Тогда масса частичной дуги будет оцениваться как

,

а. (10)

Если все стремятся к 0, то погрешность для, которая вычисляется при помощи формулы (10), тоже стремится к 0.

Пусть

,

тогда

. (20)

Рассмотренная задача дает предварительное наглядное представление о криволинейном интеграле І рода.

2. Определение криволинейного интеграла І рода

Пусть вдоль кривой определена некоторая функция, которую назовем «функцией точки». Повторим действия, проведенные више для задачи о массе кривой для произвольной функции. Пусть, построим

=. (30)

Сумма (30) является интегральной суммой для криволинейного интеграла І рода.

Аналогичный процесс построения интегральной суммы можно использовать и в случае замкнутой кривой.

Определение 1. Пусть существует конечный предел

,

который не зависит ни от способа разбиения на части, ни от выбора промежуточных точок, тогда этот предел называется криволинейным интегралом І рода от функции по кривой и обозначается:

.

Тогда согласно формуле (20) и определению 1 масса кривой вычисляется как

.

Замечание 1. В определении криволинейного интеграла І рода не имеет значения направление, которое выбирается на кривой, т.е., если точки - это концы кривой, то

.

Аналогично определяется криволинейный интеграл І рода по кривой, которая находится не на плоскости, а в трехмерном пространстве:

.

3. Сведение криволинейного интеграла І рода к интегралу Римана

Пусть на кривой выбрано направление от до (одно из двух возможных). Тогда положение произвольной точки на кривой может быть определено не только ее координатами, а и длиной дуги, которая отсчитывается от начальной точки. Тогда кривая может быть параметрически определена следующим образом:

,

где - длина всей кривой. Функция, которая определена вдоль кривой, сведется к сложной функции от переменной.

Обозначим значения длин дуг, которые отвечают на кривой точкам, через, тогда

.

Обозначим через, значения длины дуги, которые определяют положение точек. Тогда

,

т.е. интегральная сумма для криволинейного интеграла І рода является одновременно интегральной суммой для обычного определенного интеграла Римана, поэтому имеем:

, (40)

(где означает обычный интеграл Римана), и вдобавок существование одного интеграла влечет за собой существование другого.

Будем дальше предполагать, что функция, которая определена на кривой, является непрерывной. Пусть теперь простая кривая определена произвольными параметрическими уравнениями:

, (45)

где функции - непрерывны. Тогда кривая является спрямляемой и, если возрастание дуги отвечает росту параметра, то (как известно из темы «Применение интеграла Римана») длина дуги вычисляется как

. (50)

Тогда

Таким образом, в случае, когда кривая определена параметрически с помощью (45), формула сведения криволинейного интеграла І рода к интегралу Римана имеет вид:

. (60)

Пусть теперь кривая определена при помощи обычного уравнения:

, (70)

тогда для того, чтобы применить формулу (60) в этом случае, приведем задание кривой (70) к параметрическому виду обычным способом, рассматривая переменную как параметр:

.

Формула (60) принимает вид:

. (80)

Пример. Вычислить криволинейный интеграл І рода, где - это четверть эллипса, которая находится в І квадранте.

Перейдем к параметрическому заданию нужной части эллипса:

.

Тогда

.

1. Построение интегральной суммы для криволинейного интеграла І рода.
2. Определение криволинейного интеграла І рода.
3. Формула сведения криволинейного интеграла І рода к интегралу Римана в случае, когда кривая определена параметрически.
4. Формула сведения криволинейного интеграла І рода к интегралу Римана в случае, когда кривая определена обычным способом.

Дата добавления: 2014-01-04