Зведення криволінійного інтегралу І роду до інтегралу Римана

Визначення криволінійного інтегралу І роду

План

Лекція 41. Криволінійні інтеграли І роду

1. Задача про обчислення маси кривої
2. Визначення криволінійного інтегралу І роду
3. Зведення криволінійного інтегралу І роду до інтегралу Римана

1.Задача про обчислення маси кривої

Нехай на площині задана неперервна проста спрямлювана крива деякої маси (рис.1), відома функція її лінійної густини у всіх точках кривої. Необхідно визначити масу всієї кривої.

Розіб’ємо криву на частки довільно обраними на ній проміжковими точками (рис.1). Для визначеності будемо вважати, що точки

занумеровані у напряму від до (але можливо і навпаки). На кожні частковій дузі оберемо довільно точку, з координатами (рис.1). Обчислимо в точках, значення. Будемо вважати, що в кожній точці часткової дуги така ж сама густина. Позначимо довжину дуги. Тоді маса часткової дуги буде оцінюватися як

,

а. (10)

Якщо всі прямують до 0, то похибка для, що обчислюється за допомогою формули (10), теж наближається до 0.

Нехай

,

тоді

. (20)

Розглянута задача дає наочне представлення про криволінійний інтеграл І роду.

Нехай вздовж кривої визначена якась функція, яку назовемо «функцією точки». Повторимо дії, що були проведені вище для задачі про масу кривої для довільної функції. Нехай, побудуємо

=. (30)

Сума (30) є інтегральною сумою для криволінійного інтегралу І типу.

Аналогічний процес побудови інтегральної суми можна використовувати і в випадку замкненої кривої.

Визначення 1. Нехай існує скінченна границя

,

яка не залежить ні від способу розбивки на частки, ні від вибору проміжкових точок, то ця границя називається криволінійним інтегралом І роду від функції по кривій і позначається:

.

Тоді відповідно до формули (20) і визначення 1 маса кривої обчислюється як

.

Зауваження 1. В визначенні криволінійного інтегралу І роду немає значення напрямок, який обирається на кривій, тобто, якщо точки - це кінці кривої, то

.

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл І роду по кривій, яка знаходиться не на площині, а в тривимірному просторі:

.

Припустимо, що на кривій обрано напрямок від до (один з двох можливих). Тоді положення довільної точки на кривій може бути визначено не тільки її координатами, а і довжиною дуги, яка відраховується від початкової точки. Тоді крива може бути параметрично визначена наступним чином:

,

де - довжина всієї кривої. Функція, яка визначена вздовж кривої, зведеться до складної функції від змінної.

Позначимо значення довжин дуг, які відповідають на кривій точкам, через, тоді

.

Позначимо через, значення довжини дуги, які визначають положення точок. Тоді

,

тобто інтегральна сума для криволінійного інтеграла І роду є одночасно інтегральною сумою для звичайного визначеного інтегралу Римана, тому маємо:

, (40)

(де означає звичайний інтеграл Римана), до того ж існування одного інтеграла веде за собою існування іншого.

Будемо далі припускати, що функція, яка визначена на кривій, є неперервною. Нехай тепер проста крива визначена довільними параметричними рівняннями:

, (45)

де функції - неперервні. Тоді крива є спрямлюваною і, якщо зростання дуги відповідає зростанню параметра, то (як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана»)

. (50)

Тоді

Таким чином, в випадку, коли крива визначена параметрично за допомогою (45), формула зведення криволінійного інтегралу І типу до інтеграла Римана має вид:

. (60)

Нехай тепер крива визначена за допомогою звичайного рівняння:

, (70)

тоді для того, щоб застосувати формулу (60) в цьому випадку, приведемо завдання кривої (70) до параметричного виду звичайним способом, розглядаючи змінну як параметр:

.

Формула (60) приймає вид:

. (80)

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл І типу, де - це чверть еліпсу, яка знаходиться в І квадранті.

Перейдемо до параметричного завдання потрібної частки еліпсу:

.

Тоді

.

Дата добавления: 2014-01-04