Формула Гріна

Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів

Класи інтегрованих функцій

Умова існування подвійного інтегралу

План

Лекція 45. Властивості подвійного інтегралу

1. Умова існування подвійного інтегралу
2. Класи інтегрованих функцій
3. Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів
4. Формула Гріна

Нехай в області визначена функція.

Теорема 1 (необхідна умова існування подвійного інтеграла). Якщо функція інтегрована на, вона обмежена на.

Нехай обмежена на. Розібємо область кривими на скінченну кількість часток,,...,, площі яких відповідно дорівнюють. Позначимо:

.

Визначення 1. Нижньою (верхньою) сумою Дарбу від функції на області, що відповідає побудованій розбивці області на частки,,...,, називається

.

Властивості сум Дарбу для функції двох змінних аналогічні властивостям сум Дарбу для функції одної змінної. Аналогічно визначаються нижній і верхній інтеграли Дарбу.

Теорема 2 (критерій існування подвійного інтегралу). Для того, щоб функція була інтегрована на, необхідно і достатньо, щоб

.

1. Будь-яка неперервна на функція є інтегрованою на.

2. Якщо обмежена на функція має розриви лише на скінченній кількості кривих з площею 0, то вона інтегрована на.

1. Якщо змінити значення інтегрованої на функції вздовж будь-якої кривої з площею 0, то нова функція також буде інтегрованою на, а її інтеграл буде співпадати з інтегралом від.

2. Якщо область, на якій визначена, кривою з площею 0 розкладена на і, то з інтегрованості функції на витікає її інтегрованість на і, і навпаки: з інтегрованості на і витікає інтегрованість на. При цьому:

.

3. Якщо функція інтегрована на, а, то

.

Завдання. Записати інші властивості подвійних інтегралів (Фихтенгольц, т.ІІІ, с.127-134).

Нехай на області, яка є криволінійною трапецією І типа (рис.1), визначена фукнкція, яка є неперервною в разом з частковою похідною. Тоді

. (1)

Але ж

, (2)

Підставимо (2) в (1):

, (3)

де - це контур, який оббігається в додатному напрямку.

Аналогічно, нехай на області, яка тепер є криволінійною трпецією ІІ типа (рис.2), визначена функкція, яка є неперервною в разом з частковою похідною. Тоді можна довести, що

. (4)

Зауваження 1. Формула (3) ((4)) має місце, якщо область прямими, паралельними осі ОУ (осі ОХ) розкладається на скінченну кількість криволінійних трапецій І типу (ІІ типу).

Зауваження 2. Якщо область одночасно задовольняє умовам обох випадків, тобто розкладається як на скінченну кількість трапецій І типу, так і на скінченну кількість трапецій ІІ типу, і якщо припустити неперервність,,,, то

. (5)

Формула (5), яка встановлює звязок між криволінійним і подвійним інтегралами, називається формулою Гріна.

Приклад. Перевірити формулу Гріна для функцій,. Обидві функції мають розрив в точці (0,0). Розглянемо як коло радиуса 1 з центром в (0,0). Тоді визначається як

.

При цьому

,,

.

Крім того

.

Таким чином, формула Гріна має місце, хоча в т.(0,0) функції мають розрив.

Дата добавления: 2014-01-04