Формула Грина

Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов

Классы интегрируемых функций

Условие существования двойного интеграла

План

1. Условие существования двойного интеграла
2. Классы интегрируемых функций
3. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
4. Формула Грина

Пусть в области определена функция.

Теорема 1 (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функция интегрируема на, она ограничена на.

Пусть ограничена на. Разобьем область кривыми на конечное число частей,,...,, площади которых соответственно равны. Обозначим:

.

Определение 1. Нижней (верхней) суммой Дарбу от функции на области, которая отвечает построенному разбиению области на части,,...,, называется

.

Свойства сумм Дарбу для функции двух переменных аналогичны свойствам сумм Дарбу для функции одной переменной. Аналогично определяются нижний и верхний интегралы Дарбу.

Теорема 2 (критерий существования двойного интеграла). Для того, чтобы функция была интегрируема на, необходимо и достаточно, чтобы

.

1. Любая непрерывная на функция является интегрируемой на.

2. Если ограниченная на функция имеет разрывы лишь на конечном количестве кривых с площадью 0, то она интегрируема на.

1. Если изменить значение интегрированной на функции вдоль любой кривой с площадью 0, то новая функция также будет интегрируемой на, а ее интеграл будет совпадать с интегралом от.

2. Если область, на которой определена, кривой с площадью 0 разложена на и, то из интегрируемости функции на следует ее интегрируемость на и, и наоборот: из интегрируемости на и следует интегрируемость на. При этом:

.

3. Если функция интегрируема на, а, то

.

Задание. Записать другие свойства двойных интегралов (Фихтенгольц, т.ІІІ, с.127-134).

Пусть на области, которая является криволинейной трапецией І типа (рис.1), определена функция, которая является непрерывной в вместе с частной производной. Тогда

. (1)

Но

, (2)

Подставим (2) в (1):

, (3)

где - это контур, который обходится в положительном направлении.

Аналогично, пусть на области, которая теперь является криволинейной трпецией ІІ типа (рис.2), определена функкция, которая является непрерывной в вместе с частной производной. Тогда можно доказать, что

. (4)

Замечание 1. Формула (3) ((4)) имеет место, если область прямыми, параллельными оси ОУ (оси ОХ) раскладывается на конечное количество криволинейных трапеций І типа (ІІ типа).

Замечание 2. Если область одновременно удовлетворяет условиям обоих случаев, т.е. раскладывается как на конечное количество трапеций І типа, так и на конечное количество трапеций ІІ типа, и если предположить непрерывность,,,, то

. (5)

Формула (5), которая устанавливает связь между криволинейным и двойным интегралами, называется формулой Грина.

Пример. Проверить формулу Грина для функций,. Обе функции имеют разрыв в точке (0,0). Рассмотрим как круг радиуса 1 с центром в (0,0). Тогда определяется как

.

При этом

,,

.

Кроме того

.

Таким образом, формула Грина имеет место, хотя в т.(0,0) функции имеют разрыв.

Дата добавления: 2014-01-04