КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 45. Свойства двойного интеграла
План
Нехай в області визначена функція. Розібємо область кривими на скінченну кількість часток,,...,, площі яких відповідно позначимо (рис.1). В кожній підобласті оберемо довільно точку, обчислимо значення функції у цих точках. Суму
будемо називати інтегральною сумою для в області. Позначимо: .
Рис.1.
Визначення. Якщо існує, яка не залежить ні від того, як область розбивалася на частки, ні від того, як обиралися проміжкові точки, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції в області і позначається:
.
Геометричний зміст подвійного інтегралу. Розглянемо тіло, яке зверху обмежено поверхнею, знизу – плоскою фігурою, яка знаходиться на координатній площині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнею з твірною, паралельною осі OZ(рис.1). Тоді значення подвійного інтегралу - це обєм тіла (рис.1).
Нехай тіло в тривимірному просторі обмежено площинами. Припустимо, що переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ, яка перетинає цю вісь у точці з абсцисою (), має площу. Тоді, як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», обєм тіла буде обчислюватися за формулою:
. (5)
Скористаємося цією формулою для обєма циліндричного тіла. Нехай спочатку в його основі буде прямокутник (рис.2). Переріз тіла площиною є криволінійною трапецією проекція якої на координатну площину - (рис.2). Площа отриманого перерізу буде дорівнювати:
. (10)
Формула (10) має місце для будь-якого, тому
. (20)
Підставляючи (20) у (5), отримаємо:
. (30)
Враховуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, з формули (30) отримаємо:
. (40)
Формула (40) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область.
Рис.2.
Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією І типа і обмежена кривими
(рис.3). Цей випадок відрізняється від попереднього тим, що раніше для кожного фіксованого значення змінювалися на, а тепер, тому
.
Тоді . (50)
Формула (50) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область є криволінійною трапецією І типа. Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією ІІ типа (рис.4), тоді має місце настуна формула зведення подвійного інтеграла до повторного:
. (60)
Якщо область на ХОУ є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типа, то для обчислення подвійного інтеграла можна користуватися формулами (50), (60) і при цьому:
. (70)
Формула (70) – це формула заміни порядку інтегрування.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 443; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |