Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Вопросы. Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы


Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы

Полная ортогональная система. Критерий полноты ортогональной системы. Равенство Парсеваля

Определение 3. Система ортогональных функций из пространства называется полной в пространстве , если ряд Фурье для любой функции сходится в среднем к .

Теорема 1 (критерий полноты системы ортогональных функций). Ортогональная система будет полной в тогда и только тогда, когда имеет место равенство

для любой .

 

Доказательство. Пусть - ортогональная система функций в пространстве . Построим ряд Фурье для произвольной функции :

 

, где .

 

По определению система является полной тогда и только тогда, когда , тут - ая усеченная сумма ряда , которая одновременно является многочленом Фурье. Учитывая это, вспомним тождество Бесселя:

 

.

 

Тогда, если перейти в левой части тождества Бесселя к пределу, когда , получим:

 

,

 

но это равносильно тому, что предел правой части также равняется 0:

 

 

 

.

 

Последнее равенство называется равенством Парсеваля.

 

Определение 4. Ортогональная система функций из пространства называется замкнутой, если из того, что функция ортогональна каждой функции из системы вытекает, что ~0 в пространстве , т.е. может отличаться от 0 лишь в конечном количестве точек сегмента .

Теорема 1. Если система является полной в пространстве , она является и замкнутой.

Доказательство. Пусть функция ортогональна всем функциям .

Покажем, что ~0 в . Имеем:

 

,

 

поскольку ортогональна всем .

Система является полной, тогда имеет место равенство Парсеваля: . Учитывая, что все , имеем:

 

,

 

а потому из равенства Парсеваля получим:

 

,

 

откуда по свойствам определенного интеграла Римана вытекает, что ~0, а потому система функций является замкнутой, что и нужно было доказать.

Теорема 2. Если система функций является полной в , а функции и имеют одинаковые коэффициенты Фурье по этой системе, то ~ (если и - непрерывны, то ).



Доказательство. Построим вспомогательную функцию . Найдем коэффициенты Фурье, для :

 

 

 

Из того, что для любого вытекает, что ортогональна каждой . Поскольку полная, а потому и замкнутая, то ~0, или ~ .

Утверждение. Основные тригонометрические системы являются полными.

 

 

1. Когда говорят, что функциональная последовательность сходится в среднем к из ?

2. Когда говорят, что функциональный ряд сходится в среднем к сумме ?

3. Какая система ортогональных функций из пространства называется полной в пространстве ?

4. Критерий полноты системы ортогональных функций. Доказать.

5. Какая ортогональная система функций из пространства называется замкнутой?

6. Связь между полнотой и замкнутостью ортогональной системы.

7.Какими являются основные тригонометрические системы?

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Понятие сходимости в среднем | Властивості повних систем. Поняття замкненої системи

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 817; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.