![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вопросы. Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы
Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы Полная ортогональная система. Критерий полноты ортогональной системы. Равенство Парсеваля Определение 3. Система ортогональных функций из пространства называется полной в пространстве, если ряд Фурье для любой функции сходится в среднем к. Теорема 1 (критерий полноты системы ортогональных функций). Ортогональная система будет полной в тогда и только тогда, когда имеет место равенство для любой.
Доказательство. Пусть - ортогональная система функций в пространстве. Построим ряд Фурье для произвольной функции:
, где.
По определению система является полной тогда и только тогда, когда, тут - ая усеченная сумма ряда, которая одновременно является многочленом Фурье. Учитывая это, вспомним тождество Бесселя:
.
Тогда, если перейти в левой части тождества Бесселя к пределу, когда, получим:
,
но это равносильно тому, что предел правой части также равняется 0:
.
Последнее равенство называется равенством Парсеваля.
Определение 4. Ортогональная система функций из пространства называется замкнутой, если из того, что функция ортогональна каждой функции из системы вытекает, что ~0 в пространстве, т.е. может отличаться от 0 лишь в конечном количестве точек сегмента. Теорема 1. Если система является полной в пространстве, она является и замкнутой. Доказательство. Пусть функция ортогональна всем функциям. Покажем, что ~0 в. Имеем:
,
поскольку ортогональна всем. Система является полной, тогда имеет место равенство Парсеваля:. Учитывая, что все, имеем:
,
а потому из равенства Парсеваля получим:
,
откуда по свойствам определенного интеграла Римана вытекает, что ~0, а потому система функций является замкнутой, что и нужно было доказать. Теорема 2. Если система функций является полной в, а функции и имеют одинаковые коэффициенты Фурье по этой системе, то ~ (если и - непрерывны, то). Доказательство. Построим вспомогательную функцию. Найдем коэффициенты Фурье, для:
Из того, что для любого вытекает, что ортогональна каждой. Поскольку полная, а потому и замкнутая, то ~0, или ~. Утверждение. Основные тригонометрические системы являются полными.
1. Когда говорят, что функциональная последовательность сходится в среднем к из? 2. Когда говорят, что функциональный ряд сходится в среднем к сумме? 3. Какая система ортогональных функций из пространства называется полной в пространстве? 4. Критерий полноты системы ортогональных функций. Доказать. 5. Какая ортогональная система функций из пространства называется замкнутой? 6. Связь между полнотой и замкнутостью ортогональной системы. 7. Какими являются основные тригонометрические системы?
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1023; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |