Властивості повних систем. Поняття замкненої системи

Повна ортогональна система. Критерій повноти ортогональної системи. Рівність Парсеваля

Поняття збіжності в середньому

План

Лекція 52. Властивості ортогональних систем

1. Поняття збіжності в середньому
2. Повна ортогональна система. Критерій повноти ортогональної системи. Рівність Парсеваля
3. Властивості повних систем. Поняття замкненої системи

Нехай подана функціональна послідовність, елементи якої належать.

Визначення 1. Кажуть, що функціональна послідовність збігається в середньому к з, якщо

.

Визначення 2. Кажуть, що функціональний ряд, усі члени якого з простору, збігається в середньому до суми, якщо до в середньому збігається функціональна послідовність зрізаних сум цього ряду, тобто

.

Визначення 3. Система ортогональних функцій з простору називається повною в просторі, якщо ряд Фурьє для будь-якої функції збігається в середньому до.

Теорема 1 (критерій повноти системи ортогональних функцій). Ортогональна система буде повною в тоді й тільки тоді, коли має місце рівність

для будь-якої.

Доказ. Нехай - ортогональна система функцій в просторі. Побудуємо ряд Фурьє для довільної функції:

, де.

За визначенням, система є повною тоді й тільки тоді, коли, тут - а зрізана сума ряду, яка одночасно є многочленом Фурьє. Враховуючи це, згадаємо тотожність Бесселя:

.

Тоді, якщо перейти в лівій частині тотожності Бесселя до границі, коли, отримаємо:

,

але це рівносильно тому, що границя правої частини також дорівнює 0:

.

Остання рівність має назву рівності Парсеваля.

Визначення 4. Ортогональна система функцій з простору називається замкненою, якщо з того, що функція ортогональна кожній функції з системи витікає, що ~0 в просторі, тобто може відрізнятися від 0 лише в скінченній кількості точок сегмента.

Теорема 1. Якщо система є повною в просторі, вона є і замкненою.

Доказ. Нехай функція ортогональна всім функціям.

Покажемо, що ~0 в. Маємо:

,

бо ортогональна усім.

Система є повною, тоді має місце рівність Парскваля:. Враховуючи, що всі, маємо:

,

а тому з рівності Парсеваля отримаємо:

,

звідки за властивістю визначеного інтегралу Римана витікає, що ~0, а тому система функцій є замкненою, що й потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо система функцій є повною в, а функції і мають однакові коефіцієнти Фурьє по цій системі, то ~ (якщо і - неперервні, то).

Доказ. Побудуємо допоміжну функцію. Знайдемо коефіцієнти Фурьє, для:

З того, що для будь-якого витікає, що ортогональна кожній. Оскільки повна, а тому і замкнена, то ~0, чи ~.

Твердження. Основні тригонометричні системи є повними.

Дата добавления: 2014-01-04