Неравенство Коши-Буняковского или неравенство Шварца. Неравенство треугольника

Неравенство Коши-Буняковского (или неравенство Шварца) имеет вид:

(42.2)

Доказательство:

при . И тогда дискриминант квадратичной формы должен быть 0. Поэтому

, и

, т.е.

Неравенство Коши-Буняковского (иногда его называют неравенством Шварца) позволяет определить угол между любыми двумя элементами евклидова пространства по формуле:

Неравенство треугольникаизвестно всем со школы, и имеет вид:

(49.3)

Доказательство:

Извлекая корень из первой и последней части неравенства, получим требуемое неравенство.

Следствие:

Доказательство:

, тогда