Неравенство Коши-Буняковского (или неравенство Шварца) имеет вид:
(42.2)
Доказательство:
при
. И тогда дискриминант квадратичной формы
должен быть
0. Поэтому
, и
, т.е. 
Неравенство Коши-Буняковского (иногда его называют неравенством Шварца) позволяет определить угол между любыми двумя элементами евклидова пространства по формуле:

Неравенство треугольникаизвестно всем со школы, и имеет вид:
(49.3)
Доказательство:

Извлекая корень из первой и последней части неравенства, получим требуемое неравенство.
Следствие: 
Доказательство:
, тогда 