Линейная независимость системы попарно ортогональных векторов

Определение: Элементы a и b ортогональны, если

Теорема: имеется система элементов . Если при и , то линейно независима.

Доказательство:

Пусть для некоторых действительных (49.4).

Помножим скалярно обе части равенства (49.4) на . Так как (ортогональна всем остальным ), то все слагаемые суммы в левой части (49.4), кроме k-ого, обращены в ноль, т.е. это равенство станет иметь вид:

откуда (49.5)

Из равенства (49.5) следует, что система -линейно независима.

Определение: базис является ортогональным базисом, в примерах ЕП если все её элементы попарно ортогональны, а если его элементы имеют единичную длину (ортонормированны), то базис называется ортонормированным (в дальнейшем - ОНБ).

Определение: пусть в линейном пространстве задано некоторое количество элементов . Линейной оболочкой (ЛО) этого множества называется множество всех элементов b, которые можно линейно выразить через заданные элементы .

Дата добавления: 2014-01-04