Преобразование матрицы ЛО при переходе к другому базису

Инвариантные подпространства и ортогональные дополнения

Пусть имеется ЛО перехода из пространства X в Y.

Определение: линейное подпространство (ЛПП) Y инвариантно, (ИПП) если для всех элементов ЛП||Y образ ЛПП принадлежит ЛП||Y или

Определение. Множество называеться ортогональным дополнением к ЛПП Y, если

и для выполнено равенство

Теорема: Если х – ИПП в ЛП L имеет размерность k, а ЛП L имеет размерность n, то ортогональные дополненияимеет размерность n-k.

Доказательство:

Пусть - ОНБ в ЛПП х. Дополним его до базиса во всём ЛП.(см. §18, следствие 18.1). Можно считать, что - ОНБ (в противном случае проведем ортогонализацию Шмидта (см. §49, и 49.4) и каждый элемент полученного базиса поделим на его длину), т.е. имеет место равенство:

(50.10)

Берём любой элемент и разложим его по базису :

(50.11)

Так как , а х, то (50.12), если

Тогда, умножая скалярно обе части равенства (50.11) на получим . Подставив последнее равенство в (50.11), получим: . Мы покали что система полна в и т.к она линейно независима (является частью ОНБ ), то она является базисом в из (n-k) элементов. Теорема доказана.

Пусть - матрица ЛО в базисе , а - матрица перехода от базиса к базису . Найдем матрицу ЛО в базисе . При этом из п.50.2 имеем (50.13)

(- элементы обратные матрицы использующие равенства (50.1) и (50.4)):

, где и

. Таким образом матрица ЛО в базисе появляется причем B=DС, где матрица ; D=C^-1A. Мы показали что справедливо следующая теорема: Матрица линейного оператора в базисе является матрица B=C^-1AC (50.14)

Дата добавления: 2014-01-04