Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Преобразование матрицы ЛО при переходе к другому базису


Инвариантные подпространства и ортогональные дополнения

Пусть имеется ЛО перехода из пространства X в Y.

Определение: линейное подпространство (ЛПП) Y инвариантно, (ИПП) если для всех элементов ЛП||Y образ ЛППпринадлежит ЛП||Y или

Определение. Множество называеться ортогональным дополнениемк ЛППY, если

и для выполнено равенство

Теорема: Если х – ИПП в ЛП L имеет размерность k, а ЛП L имеет размерность n, то ортогональные дополненияимеет размерность n-k.

Доказательство:

Пусть - ОНБ в ЛПП х. Дополним его до базиса во всём ЛП.(см. §18, следствие 18.1). Можно считать, что - ОНБ (в противном случае проведем ортогонализацию Шмидта (см. §49, и 49.4) и каждый элемент полученного базиса поделим на его длину), т.е. имеет место равенство:

(50.10)

Берём любой элемент и разложим его по базису :

(50.11)

Так как , а х, то (50.12), если

Тогда, умножая скалярно обе части равенства (50.11) на получим . Подставив последнее равенство в (50.11), получим: . Мы покали что система полна в и т.к она линейно независима (является частью ОНБ ), то она является базисом в из (n-k) элементов. Теорема доказана.

 

 

Пусть - матрица ЛО в базисе , а - матрица перехода от базиса к базису . Найдем матрицу ЛО в базисе . При этом из п.50.2 имеем (50.13)

(- элементы обратные матрицы использующие равенства (50.1) и (50.4)):

, где и

. Таким образом матрица ЛО в базисе появляется причем B=DС, где матрица ; D=C-1A. Мы показали что справедливо следующая теорема: Матрица линейного оператора в базисе является матрица B=C-1AC (50.14)

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Матрица перехода для ортонормированного базиса | Характеристический многочлен линейного оператора

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 347; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.