Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Связь собственных значений с корнями характеристического многочлена


 

Пусть линейный оператор в некотором базисе имеет матрицу A. Определим, какими должны быть его собственные значения. Для этого уравнение (51.1) перепишем в матричной форме (см. равенство (50.2)), причем за обозначим столбец координат элемента в базисе (то есть ):

, либо или (51.2)

 

Это означает, что система линейных уравнений (51.2) имеет ненулевое решение. А так как также является решением системы (51.2), то отсюда следует, что система (51.2) не определена, и поэтому (см. §7, теорема 7.1)

 

(51.3)

 

А уравнение (51.3) означает, что λ является корнем характеристического многочлена линейного оператора (см. п. 50.6 в § 50, равенство (50.15)).

 

Обратное следует из того, что если , то множество решений системы (51.2) является линейным пространством ненулевой размерности (см. §19, теорема 19.2), и, стало быть, имеет ненулевое решение. Мы показали, что справедливы следующие две теоремы:

 

Теорема 51.1: Число λ является собственным значением линейного операторатогда и только тогда, когда оно является корнем его характеристического многочлена.

Теорема 51.2: Все собственные вектора, соответствующие заданному собственному значению λ, образуют линейное подпространство. Ибо столбцы их координат являются решением однородной системы (51.2)

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Определение собственных значений и собственных векторов | Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 462; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.