Связь собственных значений с корнями характеристического многочлена

Пусть линейный оператор в некотором базисе имеет матрицу A. Определим, какими должны быть его собственные значения. Для этого уравнение (51.1) перепишем в матричной форме (см. равенство (50.2)), причем за обозначим столбец координат элемента в базисе (то есть ):

, либо или (51.2)

Это означает, что система линейных уравнений (51.2) имеет ненулевое решение. А так как также является решением системы (51.2), то отсюда следует, что система (51.2) не определена, и поэтому (см. §7, теорема 7.1)

(51.3)

А уравнение (51.3) означает, что λ является корнем характеристического многочлена линейного оператора (см. п. 50.6 в § 50, равенство (50.15)).

Обратное следует из того, что если , то множество решений системы (51.2) является линейным пространством ненулевой размерности (см. §19, теорема 19.2), и, стало быть, имеет ненулевое решение. Мы показали, что справедливы следующие две теоремы:

Теорема 51.1: Число λ является собственным значением линейного оператора тогда и только тогда, когда оно является корнем его характеристического многочлена.

Теорема 51.2: Все собственные вектора, соответствующие заданному собственному значению λ, образуют линейное подпространство. Ибо столбцы их координат являются решением однородной системы (51.2)

Дата добавления: 2014-01-04