Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения





Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств

Теорема 51.3: Линейная оболочка, натянутая на собственный вектор x, соответствующий собственному значению λ линейного оператора, является инвариантным подпространством линейного оператора.

Доказательство:

Для любого имеем y=αx при некотором α. Тогда , то есть и теорема 51.3 доказана.

 

А так как степень характеристического многочлена P(x) совпадает с размерностью всего линейного пространства, то имеет место следующая теорема:

 

Теорема 51.4: Всякий линейный операторв линейном пространстве нечётной размерности имеет инвариантное одномерное подпространство (являющееся линейной оболочкой собственного вектора x, соответствующее собственному значению λ - вещественному корню характеристического многочлена линейного оператора).

(- мнимая единица, т.е )

Пусть теперь- комплексный корень характеристического многочлена. Перейдя к матричной форме записи, получим, что система линейных уравнений (51.2) должна иметь комплексное ненулевое решение z=x+yj, или (A - вещественная матрица, ибо - вещественный линейный оператор):

(51.4)

 

Раскроем в (51.4) скобки:

 

Сравнивая вещественные и мнимые части обеих частей последнего равенства, имеем

и (51.5)

 

или, переходя к линейному оператору и полагая (см. (50.2)) ранее выбранный базис, получим:

 

и (51.6)

 

Берем теперь любое ,то есть при некоторых α и β. Тогда:

 

то есть L({x;y} (являющееся двумерным линейным подпространством) – инвариантное подпространство линейного оператора . Таким образом, доказана следующая теорема:

 

Теорема 51.5: Всякий линейный операторимеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Покажем, что имеет место следующая теорема:

 

Теорема 51.6: Если собственные значения линейного операторапопарно различны, то соответствующие им собственные вектора линейно независимы.

Доказательство:

Используем метод математической индукции по числу собственных значений m :

 

1. База индукции: m=1

Так как собственный вектор x≠0, то система {x} линейно независима (см. §16, теорема 16.0).

 

2. Шаг индукции:

Имеем: вектора линейно независимы (попарно различные собственные значения - ; соответствующие им собственные вектора - ).

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию для собственных векторов

 

(51.7)

 

Тогда

 

то есть доказано равенство

(51.8)

 

Умножая обе части (51.7) на λk+1 и вычитая полученное равенство из (51.8), имеем



(51.9)

 

А так как система линейно независима по индуктивному предположению, то

(51.10)

 

Ввиду того, что (то есть ) для любых j=1,…k (собственные значения попарно различны), из равенства (51.10) получаем, что

(51.11)

 

Подставляя вместо в (51.7) их значения из (51.11), получим, что , а так как , то из теоремы 16.0 имеем , то есть (см. (51.11): , и, следовательно, система линейно независима (ибо мы показали, что равенство (51.7) может выполняться только при нулевых значениях ). Теорема 51.6 доказана.

 

Простым следствием теоремы 51.6 является следующая теорема:

 

Теорема 51.7: Если все корни характеристического многочлена линейного операторадействительные и простые (попарно различные), то в линейном пространстве имеется базис из собственных векторов линейного оператора.

Рассмотрим матрицу линейного оператора в базисе его собственных векторов:

то есть эта матрица имеет вид:

и является диагональной матрицей.

 

Итак, доказаны следующие две теоремы:

 

Теорема 51.8: Матрица линейного операторав базисе его собственных векторов является диагональной.

Теорема 51.9: Если уравнение

(51.12)

 

Имеет вещественные простые (попарно различные) корни, то существует такая невырожденная матрица C , что C-1∙A∙C является диагональной матрицей.

Эта матрица C будет матрицей перехода к базису из собственных векторов линейного оператора соответствующих собственным значением,являющихся корнями уравнения (51.12).





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1634; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.