Линейная независимость собственных векторов, имеющих попарно-различные собственные значения

Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств

Теорема 51.3: Линейная оболочка, натянутая на собственный вектор x, соответствующий собственному значению λ линейного оператора , является инвариантным подпространством линейного оператора .

Доказательство:

Для любого имеем y=αx при некотором α. Тогда , то есть и теорема 51.3 доказана.

А так как степень характеристического многочлена P(x) совпадает с размерностью всего линейного пространства, то имеет место следующая теорема:

Теорема 51.4: Всякий линейный оператор в линейном пространстве нечётной размерности имеет инвариантное одномерное подпространство (являющееся линейной оболочкой собственного вектора x, соответствующее собственному значению λ - вещественному корню характеристического многочлена линейного оператора ).

(- мнимая единица, т.е )

Пусть теперь- комплексный корень характеристического многочлена. Перейдя к матричной форме записи, получим, что система линейных уравнений (51.2) должна иметь комплексное ненулевое решение z=x+y_j, или (A - вещественная матрица, ибо - вещественный линейный оператор):

(51.4)

Раскроем в (51.4) скобки:

Сравнивая вещественные и мнимые части обеих частей последнего равенства, имеем

и (51.5)

или, переходя к линейному оператору и полагая (см. (50.2)) ранее выбранный базис, получим:

и (51.6)

Берем теперь любое ,то есть при некоторых α и β. Тогда:

то есть L({x;y} (являющееся двумерным линейным подпространством) – инвариантное подпространство линейного оператора . Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 51.5: Всякий линейный оператор имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Покажем, что имеет место следующая теорема:

Теорема 51.6: Если собственные значения линейного оператора попарно различны, то соответствующие им собственные вектора линейно независимы.

Доказательство:

Используем метод математической индукции по числу собственных значений m:

1. База индукции: m=1

Так как собственный вектор x≠0, то система {x} линейно независима (см. §16, теорема 16.0).

2. Шаг индукции:

Имеем: вектора линейно независимы (попарно различные собственные значения - ; соответствующие им собственные вектора - ).

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию для собственных векторов

(51.7)

Тогда

то есть доказано равенство

(51.8)

Умножая обе части (51.7) на λ_k+1 и вычитая полученное равенство из (51.8), имеем

(51.9)

А так как система линейно независима по индуктивному предположению, то

(51.10)

Ввиду того, что (то есть ) для любых j=1,…k (собственные значения попарно различны), из равенства (51.10) получаем, что

(51.11)

Подставляя вместо в (51.7) их значения из (51.11), получим, что , а так как , то из теоремы 16.0 имеем , то есть (см. (51.11): , и, следовательно, система линейно независима (ибо мы показали, что равенство (51.7) может выполняться только при нулевых значениях ). Теорема 51.6 доказана.

Простым следствием теоремы 51.6 является следующая теорема:

Теорема 51.7: Если все корни характеристического многочлена линейного оператора действительные и простые (попарно различные), то в линейном пространстве имеется базис из собственных векторов линейного оператора .

Рассмотрим матрицу линейного оператора в базисе его собственных векторов:

то есть эта матрица имеет вид:

и является диагональной матрицей.

Итак, доказаны следующие две теоремы:

Теорема 51.8: Матрица линейного оператора в базисе его собственных векторов является диагональной.

Теорема 51.9: Если уравнение

(51.12)

Имеет вещественные простые (попарно различные) корни, то существует такая невырожденная матрица C, что C^-1∙A∙C является диагональной матрицей.

Эта матрица C будет матрицей перехода к базису из собственных векторов линейного оператора соответствующих собственным значением , являющихся корнями уравнения (51.12).

Дата добавления: 2014-01-04