Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

В ортогональном базисе





Если имеется СЛО, ОНБ и матрица в этом базисе. Тогда справедлива теорема 52.2: симметричный ЛО имеет ОНБ, состоящий из его собственных векторов и все его собственные значения действительны.

Введем условные обозначения: - собственное значение, а собственный вектор СЛО

Доказательство:

действительное число

На этом вторая часть теоремы доказана. Перейдем к первой:

Пусть теперь так: λ - собственное значение СЛО, а x≠0 - его собственный вектор. Используем метод мат. индукции (от частного к общему).

  1. База: пусть пространство одномерно. В таком случае базис состоит из одного (ненулевого) элемента, каким может быть в принципе собственный вектор χ.
  2. Шаг:j=1,2…,k+1

((k+1) – размерность всех ЛП)-ИПП, значит - ИПП с размерностью (см. п.50.4 в § 50), где (в ) имеется ОНБ:из собственных векторов СЛО со значениями . Тогда - ОНБ во всем линейном пространстве из собственных векторов СЛО с собственными значениями

Отметим, что если - ОНБ из собственных векторов с собственными значениями , то согласно теореме 51.8 (см. п.51.4 в § 51), его матрица в базисе будет - диагональной матрицей.

Итак, доказано следующее:

Теорема 52.3: Любой симметричный ЛО имеет ортонормированный базис, в котором его матрица диагональна.

Если – матрица перехода в базисе собственных векторов симметричного линейного оператора , то так как базис у собственных векторов – ОНБ, то имеет место равенство (см. формулу (50.8) в п.50.3,§ 50).

Определение: матрица называется симметричной, если .

Теорема 52.4: Симметричный ЛО в ОНБ действительного ЛП имеет симметричную матрицу.

Доказательство:

Так как в действительном Евклидовом пространстве:

, тогда (см. формулу 50.1), т.е. из теоремы 53.5 и 53.4 легко следует.

Теорема 52.5: Для всякой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что матрица является диагональной матрицей.Матрица С является матрицей перехода к базису собственных векторов симметричного линейного оператора , заданного матрица A (т.е.).





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 281; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.