В ортогональном базисе

Если имеется СЛО, ОНБ и матрица в этом базисе. Тогда справедлива теорема 52.2: симметричный ЛО имеет ОНБ, состоящий из его собственных векторов и все его собственные значения действительны.

Введем условные обозначения: - собственное значение, а – собственный вектор СЛО

Доказательство:

действительное число

На этом вторая часть теоремы доказана. Перейдем к первой:

Пусть теперь так: λ - собственное значение СЛО, а x≠0 - его собственный вектор. Используем метод мат. индукции (от частного к общему).

1. База: пусть пространство одномерно. В таком случае базис состоит из одного (ненулевого) элемента, каким может быть в принципе собственный вектор χ.
2. Шаг:j=1,2…,k+1

((k+1) – размерность всех ЛП)-ИПП, значит - ИПП с размерностью (см. п.50.4 в § 50), где (в ) имеется ОНБ:из собственных векторов СЛО со значениями . Тогда - ОНБ во всем линейном пространстве из собственных векторов СЛО с собственными значениями

Отметим, что если - ОНБ из собственных векторов с собственными значениями , то согласно теореме 51.8 (см. п.51.4 в § 51), его матрица в базисе будет - диагональной матрицей.

Итак, доказано следующее:

Теорема 52.3: Любой симметричный ЛО имеет ортонормированный базис, в котором его матрица диагональна.

Если – матрица перехода в базисе собственных векторов симметричного линейного оператора , то так как базис у собственных векторов – ОНБ, то имеет место равенство (см. формулу (50.8) в п.50.3,§ 50).

Определение: матрица называется симметричной, если .

Теорема 52.4: Симметричный ЛО в ОНБ действительного ЛП имеет симметричную матрицу.

Доказательство:

Так как в действительном Евклидовом пространстве:

, тогда (см. формулу 50.1), т.е. из теоремы 53.5 и 53.4 легко следует.

Теорема 52.5: Для всякой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что матрица является диагональной матрицей. Матрица С является матрицей перехода к базису собственных векторов симметричного линейного оператора , заданного матрица A (т.е.).

Дата добавления: 2014-01-04