Общий вид билинейного функционала

Пусть имеется базис из элементов .

 

Тогда:

, (53.1)

где

Это и есть общий вид БФ а матрица называется матрицей билинейного функционала.

 

 

53.3 Матрица билинейного функционала и её преобразования при переходе к другому базису

Имеется два базиса: и, а матрица C переводит первый базис во второй. Зададим составляющие базиса следующим образом:

и

Найдем БФ между представленными выше элементами:

, где (т.е матрица ) т.е матрица

Таким образом, матрица БФ преобразовывает так: D=GC=C^TBC.

Определение: БФ симметричен, если для любых элементов x и y справедливо равенство:

Такой БФ имеет симметричную матрицу.(ибо

Определение: БФ имеет канонический вид, если его матрица приведена к диагональному виду.(т.е

Теорема 53.1: для любого симметричного БФ существует ОНБ, в котором он имеет диагональную матрицу.

Доказательство:

Так как симметричный БФ имеет симметричную матрицу так, что по теореме 52.5, существует матрица С что, такая матрица диагональная и его общий вид БФ будет следующим.