Пусть имеется базис из элементов
.
Тогда:

, (53.1)
где 
Это и есть общий вид БФ а матрица
называется матрицей билинейного функционала.
53.3 Матрица билинейного функционала и её преобразования при переходе к другому базису
Имеется два базиса:
и
, а матрица C переводит первый базис во второй. Зададим составляющие базиса
следующим образом:
и 
Найдем БФ между представленными выше элементами:
, где
(т.е матрица
)
т.е матрица 
Таким образом, матрица БФ преобразовывает так: D=GC=CTBC.
Определение: БФ симметричен, если для любых элементов x и y справедливо равенство:

Такой БФ имеет симметричную матрицу.(ибо 
Определение: БФ имеет канонический вид, если его матрица приведена к диагональному виду.(т.е 
Теорема 53.1: для любого симметричного БФ существует ОНБ, в котором он имеет диагональную матрицу.
Доказательство:
Так как симметричный БФ имеет симметричную матрицу так, что по теореме 52.5, существует матрица С что, такая матрица
диагональная и его общий вид БФ будет следующим
.