Основные правила дифференцирования

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

.

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:

.

3. Производная частногодвух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: ().

Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).

Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение , аргументу приращение . Соответственно, их произведение получит приращение

.

Составим отношение . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим:

4. Дифференцирование обратной функции.

Если функция имеет обратную функцию и , то обратная функция дифференцируема в точке , причем

.

5.

Дифференцирование сложной функции.

Если функции и дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: .

Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:

Пример. Найти производную функции .

Дата добавления: 2014-01-04