Операции нечеткой алгебры

Объединение È нечётких подмножеств X ’₁ и X’₂ есть нечеткое подмножество X’, состоящее из элементов множества U, которые принадлежат нечёткому подмножеству X’₁ или X’₂, т. е. X’=(X’₁∪X’₂). Степень принадлежности элементов универсального множества нечёткому подмножеству X’ равна дизъюнкции степеней принадлежности элементов универсального множества нечётким подмножествам X’₁ и X’₂: μ_X’(u_i)=(μ_X’1(u_i)∨μ_X’2(u_i))=max_i{μ_X’1(u_i),μ_X’2(u_i)}.

Например, дано: X’₁={0.6/u₁,0.4/u₂,0.8/u₃,0.2/u₄,1.0/u₅,0.3/u₆}, X’₂={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃, 0.7/u₇,0.3/u₈,0,5/u₉}, U={u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈,u₉} здесь и далее. Найти X’=(X’₁∪X’₂).

Решение: X’=(X’₁∪X’₂)={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃,0.2/u₄,1.0/u₅, 0.3/u₆,0.7/u₇,0.3/u₈,0.5/u₉}.

Пересечение Ç нечётких подмножеств X’₁ и X’₂ есть нечеткое подмножество X’, состоящее из элементов множества U, которые принадлежат нечётким подмножествам X’₁ и X’₂, т. е. X’=(X’₁∩X’). Степень принадлежности элементов универсального множества нечёткому подмножеству X’ равна конъюнкции степени принадлежности элементов универсального множества нечётким подмножествам X’₁ и X’₂: μ_X’(u_i)=(μ_X’1(u_i)&μ_X’2(u_i))=min_i{μ_X’1(u_i),μ_X’2(u_i)}.

Например, дано: X’₁={0.6/u₁,0.4/u₂,0.8/u₃,0.2/u₄,1.0/u₅,0.3/u₆}, X’₂={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃, 0.7/u₇,0.3/u₈,0,5/u₉}. Найти X’=(X’₁ÇX’₂).

Решение: X’=(X’₁ÇX’₂)={0.6/u₁,0.4/u₂,0.8/u₃}.

Дополнение Ø нечёткого подмножества X’ есть нечёткое подмножество ¬X’, состоящее из всех элементов универсального множества U, которые не принадлежат нечёткому подмножеству X'. Степень принадлежности элементов универсального множества нечёткому подмножеству ¬X’ равна дополнению степени принадлежности элементов нечёткому подмножеству X’ до степени принадлежности универсальному множеству U: μ_ØX’(u)= 1-μ_X’(u).

Например, дано: U={u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈,u₉}, X’₁={0.6/u₁,0.4/u₂,0.8/u₃,0.2/u₄,1.0/u₅, 0.3/u₆}, X’₂={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃,0.7/u₇,0.3/u₈,0,5/u₉}. Найти ØX’₁ и ØX’₂.

Решение: ØX’₁={0.4/u₁,0.6/u₂,0.2/u₃,0.8/u₄,0.7/u₆,1.0/u₇,1.0/u₈, 1.0/u₉}, ØX’₂={0.1/u₁, 0.6/u₂, 1.0/u₄, 1.0/u₅,1.0/u₆,0.3/u₇,0.7/u₈, 0.5/u₉}.

На базе рассмотренных операций нечеткой алгебры существуют дополнительные операции: разности, симметрической разности, прямого произведения нечетких подмножеств.

Разность \ нечётких подмножеств X’₁ и X’₂ есть нечеткое подмножество X’, состоящее из тех элементов множества U, которые принадлежат нечёткому подмножеству X’₁ и не принадлежат нечёткому подмножеству X’₂, т. е. X’=X’₁\X’₂=X’₁∩¬X’₂. Степень принадлежности элемента универсального множества нечёткому подмножеству X’ равна конъюнкции степеней принадлежности нечёткому подмножеству X’₁ и дополнению нечёткого подмножества X’₂: μ_X’(u_i)=(μ_X’1(u_i)&(1-μ_X’2(u_i)))=min_i{μ_X’1(u_i),(1-μ _X’2(u_i))}.

Например, дано: U={u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈,u₉}, X’₁={0.6/u₁,0.4/u₂,0.8/u₃,0.2/u₄,1.0/u₅, 0.3/u₆}, X’₂={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃,0.7/u₇,0.3/u₈,0,5/u₉}. Найти X’₁\X’₂.

Решение: X’= X’₁\X’₂={0.1/u₁,0.4/u₂,0.2/u₄,1.0/u₅,0.3/u₆}.

Симметрическая разность Δ нечётких подмножеств X’₁ и X’₂ есть нечёткое подмножество X’, состоящее из элементов универсального множества U, которые принадлежат нечётким подмножествам (X’₁&¬X’₂) или (X’₂&¬X’₁), т. е. X’=(X’₁ΔX’₂)= (X’₁∩¬X’₂)∪(X’₂∩¬X’₁). Степень принадлежности элементов универсального множества нечёткому подмножеству X’ равна дизъюнкции степеней принадлежности нечетким подмножествам X’₁∩¬X’₂ и X’₂∩¬X’₁: μ_X’(u_i)=(μ_X’1(u_i)&μØ_X’2(u_i))Ú (μ_X’2(u_i)&μØ_X’1(u_i)) = max{min_i{μ_X’1(u_i),μ Ø_X’2(u_i)}, min_i{μ_X’2(u_i),μ Ø_X’1(u_i)}.

Например, дано: U={u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈,u₉}, X’₁={0.6/u₁,0.4/u₂,0.8/u₃,0.2/u₄, 1.0/u₅, 0.3/u₆}, X’₂={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃,0.7/u₇,0.3/u₈,0,5/u₉}. Найти X’₁DX’₂.

Решение: X’= X’₁DX’₂={0.4/u₁,0.4/u₂,0.2/u₃,0.2/u₄,1.0/u₅,0.3/u₆, 0.7/u₇,0.3/u₈,0.5/u₉}.

Прямое произведение Ä нечетких подмножеств есть нечеткое подмножество X’, состоящее из пар (u_i,u_j), первая компонента которых принадлежит нечёткому подмножеству X’₁, а вторая – X’₂, т.е. X’= X’₁⊗X’₂={μ_X’(u_i ,u_j)/(u_i,u_j)|u_i∈X’₁ и u_j∈X’₂}. Степень принадлежности μ_X’(ui,uj) пары (u_i,u_j), равна минимальному значению степени принадлежности μ_X’1(u_i) и μ_X’2(u_j): μ_X’(u_i,u_j)= (μ_X’1(u_i)&μ_X’2(u_j)=min{μ_X’1(u_i),μ_X’2(u_j)}.

Например, дано: X’₁={0.2/u₄,1.0/u₅,0.3/u₆}, X’₂={0.9/u₁,0.4/u₂,1.0/u₃}. Найти X’₁ÄX’_2.

Решение: X’= X’₁ÄX’₂={0.2/(u₄, u₁),0.2/(u₄, u₂),0.2/(u₄, u₃),0.9/(u₅, u₁), 0.4/(u₅, u₂),1.0/(u₅, u₃),0.3/(u₆, u₁),0.3/(u₆, u₂), 0.3/(u₆, u₃)}.

Возможно также исследовать «отношения» двух нечетких подмножеств. Для этого используются операции включения и равенства нечетких подмножеств.

Включение Í нечёткого подмножества X’₁ в нечёткое подмножество X’₂ есть высказывание: «если ‘u’∈U принадлежит X’₁, то он принадлежит X’₂». Степень включения нечёткого подмножества X’₁ в нечёткое подмножество X’₂ равна конъюнкции степеней принадлежности результатов исполнения операций импликации для каждого элемента универсального множества, т. е. μ_X’1ÍX’2=&(μ_X’1(u_i)®μ_X’2(u_j))=&(μØ_X’1(u_i)Úμ_X’2(u_j))=min{max{(1-μ_X’1(u_i)), μ_X’2(u_j)}}. Если μ_{X’1⊆X’2}≥0.5, то говорят, что нечеткое подмножество X’₁ нечётко включено в нечеткое подмножество X’₂.

Например, дано: X’₁={0.3/u₂,0.6/u₃,0.4/u₅}, X’₂={0.8/u₁,0.5/u₂,0.7/u₃,0.6/u₅}, U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅}. Включено ли нечеткое подмножество X’₁ в нечеткое подмножество X’₂?

Решение: m_{(X’1ÍX’2)}=min{max{1/u₁,0.8/u₁},max{0.7/u₂,0.5/u₂},max{0.4/u₃,0.7/u₃}, max{1/u₄,0/u₄},max{0.6/u₅, 0.6/u₅}}=min{1/u₁,0.7/u₂,0.7/u₃,1/u₄,0.6/u₅}=0.6.

Поскольку результат больше 0.5, ответ – включено.

Равенство ≅ нечётких подмножеств X’₁ и X’₂ естьвысказывание: «если uÎU принадлежит X’₁, то он принадлежит X’₂ и если он принадлежит X’₂, то принадлежит X’₁». Степень равенства нечётких подмножеств X’₁ и X’₂ равна конъюнкции степеней принадлежности результатов исполнения операции эквивалентности для каждого элемента универсального множества, т.е. μ_X’1@X’2=&_i(μ_X’1(u_i)«μ_X’2(u_j))=&_i((μØ_X’1(u_i)Úμ_X’2(u_j))&_i(μØ_X’2(u_i)Úμ_X’1(u_j)))=min{min {max_i{(1-μ_X’1(u_i)),μ_X’2(u_j)},max_i{(1-μ_X’2(u_i)),μ_X’1(u_j)}}}. Если μ_{X’1≅X’2} ≥0,5, то нечеткие подмножества X’₁ и X’₂ нечётко равны.

Например, дано: X’₁={0.8/u₂,0.6/u₃,0.1/u₅}, X’₂={0.3/u₁,0.6/u₂,0.7/u₃,0.2/u₄,0.3/u₅}, U={u₁, u₂, u₃, u₄,u₅}. Равны ли нечетко нечеткие подмножества X’₁ и X’₂?

Решение: m_{(X’1@X’2)}=min{min{max{1/u₁,0.3/u₁},max{0/u₁,0.7/u₁}}, min{max{0.2/u₂,0.6/u₂}, max{0.8/u₂,0.4/u₂}}, min{max{0.4/u₃, 0.7/u₃},max{0.6/u₃,0.3/u₃}}, min{max{1/u₄,0.2/u₄}, max{0/u₄,0.8/u₄}}, min{max{0.9/u₅,0.3/u₅},max{0.1/u₅,0.7/u₅}}}= min{min{1/u₁, 0.7/u₁}, min{0.6/u₂,0.8/u₂}, min{0.7/u₃, 0.6/u₃},min{1/u₄,0.8/u₄}, min{0.9/u₅, 0.7/u₅}}= min{0.7/u₁,0.6/u₂,0.6/u₃,0.8/u₄,0.7/u₅}=0.6.

Поскольку результат больше 0.5, ответ: нечетко равны.

Дата добавления: 2014-01-04