Практика по нечетким отображениям

Нечеткие множества отображений

Если по какому-то нечёткому правилу для элементов множества X находят элементы множества Y, то формируют нечёткое отображение h’:

Если по какому-то нечёткому правилу для элементов четкого множества X находят элементы того же множества, то формируют нечёткое отношение r’:

.

Нечёткие отображения и отношения удобно представлять матрицами, элементы строк которых есть прообразы нечёткого отображения, а элементы столбцов – его образы. Тогда в каждую клеточку матрицы записывают значение степени принадлежности для соответствующей пары элементов.

Композиция ° нечётких отображений h’₁ и h’₂ есть нечёткое отображение h’=(h’₁°h’₂)={m_h’(x_i,z_k)/(x_i,z_k)}. Степень принадлежности нечёткому отображению h’ существует тогда и только тогда, когда есть хотя бы один элемент y_j, принадлежащий нечётким отображениям h’₁={μ_h’1(x_i,y_j)/(x_i,y_j)} и h’₂={μ_h’2(y_j,z_k)/(y_j,z_k)}, и вычисляется операцией дизъюнкции для каждого значения y_j, т. е. m_h’(x_i,z_k)=Ú(m_h’1(x_i,y_j)&m_h’2(y_j,z_k))= max{min_j{m_h’1(x_i,y_j),m_h’2(y_j,z_k)}}.

Композиция ° нечётких отношений r’₁ и r’₂ есть нечёткое отношение r’=(r’₁°r’₂)= {m_r’(x_1i, x_2k)/(x_1i, x_2k)}. Степень принадлежности нечёткому отношению r’ существует тогда и только тогда, когда есть хотя бы один элемент x_j, принадлежащий нечётким отношениям r’₁ и r’₂, и вычисляется операцией дизъюнкции для каждого значения x_k, т. е. m_r’(x_i,x_k)=Ú(m_r’1(x_i,x_j)&m_r’2(x_j,x_k))=max{min_j{m_r’1(x_i,x_j),m_r’2(x_j,x_k)}}.

1. Дано:

· x₁, x₂, x₃, x₄ и x₅ - соответственно, внешние признаки заболевания: высокая температура, хрипы в грудной клетке, головная боль, насморк, кашель,

· y₁, y₂, y₃ и y₄ – возможные заболевания: мигрень, респираторное заболевание, бронхит, астма,

· нечеткая матрица (нечеткое отображение) h’: X’→Y’ составлена ведущими диагностами медицины; она показывает вероятные заболевания при том или ином наборе признаков:

h’	y1	y2	y3	y4
x1		0.2
x2
x3			0.4
x4		0.3
x5		0.7	0.8

· X' – нечеткие данные о заболевании некоторого пациента, полученные в нестационарных условиях (в лесу, экспедиции и т.п.): X’={0.6/x₁,0.9/x₄,0.1/x₅}.

Определить возможные заболевания пациента, т.е. найти нечёткое множество Y'.

Решение:

Для определения возможных заболеваний пациента построим композицию X’°h’, для чего используем следующую форму представления исходных данных (столбец m_x’ соответствует данному выше определению нечеткого подмножества X’):

h’	mx’	y1	y2	y3	y4
x1	0.6		0.2
x2
x3				0.4
x4	0.9		0.3
x5	0.1		0.7	0.8

Тогда: μ_y'(y₁)=max{min{0.6,0},min{0.9,0},min{0.1,0}}=0,

μ_y’(y₂)=max{min{0.6,0.2},min{0.9,0.3),min{0.1,0.7}}=0.3,

μ_y’(y₃)=max{min{0.6,0},min{0.9,0},min{0.1,0.8}}=0.1,

μ_y’(y₄)=max{min{0.6,0},min{0.9,0},min{0.1,0}}=0.

Составим по результатам расчетов нечеткое множество Y'={0/y₁,0.3/y₂,0.1/y₃,0/y₄}.

То есть по данным о внешних признаках у пациента, возможно, респираторное заболевание (y₂). Надежность диагноза не более 0,3.

2. Дано:

h’₁={0.3/(x₁,y₁),1/(x₁,y₃),0.7/(x₂,y₁),0.9/(x₂,y₂), 0.4/(x₂,y₃)}

h’₂={ 0.2/(y₁,z₁),0.8/(y₁,z₂),1/(y₁,z₃),0.3/(y₂,z₁),0.4/(y₂,z₃)}.

Найти h’=(h’₁°h’₂).

Решение:

1. Сформируем пары на элементах множеств {x_i} и {z_j}:

х₁ х₂

z₁ z₂ z₃

Результат: (x₁,z₁),(x₁,z₂),(x₁,z₃),(x₂,z₁),(x₂,z₂),(x₂,z₃)

2. По каждой паре рассчитаем степень принадлежности, пользуясь исходными данными:

m_h’(x₁,z₁) = max{min{m(x₁,y₁),m(x₁,y₂),m(x₁,y₃)},min{m(y₁, z₁),m(y₂, z₁),m(y₃, z₁)}}= max{min{0.3,0,1},min{0.2,0.3,0}}= max{0,0}=0

m_h’(x₁,z₂) = max{min{m(x₁,y₁),m(x₁,y₂),m(x₁,y₃)},min{m(y₁, z₂),m(y₂, z₂),m(y₃, z₂)}}= max{min{0.3,0,1},min{0.8,0,0}}= max{0,0}=0

m_h’(x₁,z₃) = max{min{m(x₁,y₁),m(x₁,y₂),m(x₁,y₃)},min{m(y₁, z₃),m(y₂, z₃),m(y₃, z₃)}}= max{min{0.3,0,1},min{1,0.4,0}}= max{0,0}=0

m_h’(x₂,z₁) = max{min{m(x₂,y₁),m(x₂,y₂),m(x₂,y₃)},min{m(y₁, z₁),m(y₂, z₁),m(y₃, z₁)}}= max{min{0.7,0.9,0.4},min{0.2,0.3,0}}=max{0.4,0}=0.4

m_h’(x₂,z₂) = max{min{m(x₂,y₁),m(x₂,y₂),m(x₂,y₃)},min{m(y₁, z₂),m(y₂, z₂),m(y₃, z₂)}}= max{min{0.7,0.9,0.4},min{0.8,0,0}}=max{0.4,0}=0.4

m_h’(x₂,z₃) = max{min{m(x₂,y₁),m(x₂,y₂),m(x₂,y₃)},min{m(y₁, z₃),m(y₂, z₃),m(y₃, z₃)}}= max{min{0.7,0.9,0.4},min{1,0.4,0}}=max{0.4,0}=0.4

Ответ: h’={0.4/(x₂,z₁), 0.4/(x₂,z₂),0.4/(x₂,z₃)}.

3. Дано:

r’1	x1	x2	x3	x4		r’2	x1	x2	x3	x4
x1	0.2	0.4	0.6	0.3		x1	0.4	0.2	0.8	0.9
x2	0.3	0.5	0.7	0.5		x2	0.5	0.7	0.3	0.7
x3	0.2	0.5	0.4	0.7		x3	0.5	0.2	0.6	0.5
x4	0.3	0.6	0.9	0.9		x4	0.4	0.7	0.8	0.3

Найти r'=r₁°r₂.

Решение:

Рассчитаем степени принадлежности для пар элементов нечеткого отношения r’, принадлежащих первым двум строкам и столбцам (остальное выполнить самостоятельно) (полужирно выделены элементы, для которых выполняется расчет):

m_r’(x₁, x₁)=max{min{m_r’1(x₁,x₁), m_r’2(x₁, x₁)},min{m_r’1(x₁,x₂), m_r’2(x₂, x₁)},

min{m_r’1(x₁,x₃), m_r’2(x₃, x₁)},min{m_r’1(x₁,x₄), m_r’2(x₄, x₁)}}= max{min{0.2,0.4},min{0.4,0.5},min{0.6,0.5},min{0.3,0.4}}=

max{0.2,0.4,0.5,0.3}=0.5

m_r’(x₁,x₂)=max{min{m_r’1(x₁,x₁), m_r’2(x₁, x₂)},min{m_r’1(x₁,x₂), m_r’2(x₂, x₂)},

min{m_r’1(x₁,x₃), m_r’2(x₃, x₂)},min{m_r’1(x₁,x₄), m_r’2(x₄, x₂)}}=

max{min{0.2,0.2},min{0.4,0.7},min{0.6,0.2},min{0.3,0.7}}=

max{0.2,0.4,0.2,0.3}=0.4

m_r’(x₁,x₃)=max{min{m_r’1(x₁,x₁), m_r’2(x₁, x₃)},min{m_r’1(x₁,x₂), m_r’2(x₂, x₃)},

min{m_r’1(x₁,x₃), m_r’2(x₃, x₃)},min{m_r’1(x₁,x₄), m_r’2(x₄, x₃)}}=

max{min{0.2,0.8},min{0.4,0.3},min{0.6,0.6},min{0.3,0.8}}=

max{0.2,0.3,0.6,0.3}=0.6

m_r’(x₁,x₄)=max{min{m_r’1(x₁,x₁), m_r’2(x₁, x₄)},min{m_r’1(x₁,x₂), m_r’2(x₂, x₄)},

min{m_r’1(x₁,x₃), m_r’2(x₃, x₄)},min{m_r’1(x₁,x₄), m_r’2(x₄, x₄)}}=

max{min{0.2,0.9},min{0.4,0.7},min{0.6,0.5},min{0.3,0.3}}=

max{0.2,0.4,0.5,0.3}=0.5

m_r’(x₂,x₁)=max{min{m_r’1(x₂,x₁), m_r’2(x₁, x₁)},min{m_r’1(x₂,x₂), m_r’2(x₂, x₁)},

min{m_r’1(x₂,x₃), m_r’2(x₃, x₁)},min{m_r’1(x₂,x₄), m_r’2(x₄, x₁)}}=

max{min{0.3,0.4},min{0.5,0.5},min{0.7,0.5},min{0.5,0.4}}=

max{0.3,0.5,0.5,0.4}=0.5

m_r’(x₂,x₂)=max{min{m_r’1(x₂,x₁), m_r’2(x₁, x₂)},min{m_r’1(x₂,x₂), m_r’2(x₂, x₂)},

min{m_r’1(x₂,x₃), m_r’2(x₃, x₂)},min{m_r’1(x₂,x₄), m_r’2(x₄, x₂)}}=

max{min{0.3,0.2},min{0.5,0.7},min{0.7,0.2},min{0.5,0.7}}=

max{0.2,0.5,0.2,0.5}=0.5

m_r’(x₂,x₃)=max{min{m_r’1(x₂,x₁), m_r’2(x₁, x₃)},min{m_r’1(x₂,x₂), m_r’2(x₂, x₃)},

min{m_r’1(x₂,x₃), m_r’2(x₃, x₃)},min{m_r’1(x₂,x₄), m_r’2(x₄, x₃)}}=

max{min{0.3,0.8},min{0.5,0.3},min{0.7,0.6},min{0.5,0.8}}=

max{0.3,0.3,0.6,0.5}=0.6

m_r’(x₂,x₄)=max{min{m_r’1(x₂,x₁), m_r’2(x₁, x₄)},min{m_r’1(x₂,x₂), m_r’2(x₂, x₄)},

min{m_r’1(x₂,x₃), m_r’2(x₃, x₄)},min{m_r’1(x₂,x₄), m_r’2(x₄, x₄)}}=

max{min{0.3,0.9},min{0.5,0.7},min{0.7,0.5},min{0.5,0.3}}=

max{0.3,0.5,0.5,0.3}=0.5

и т.д.

Результат:

r’	x1	x2	x3	x4
x1	0.5	0.4	0.6	0.5
x2	0.5	0.5	0.6	0.5
x3	0.5	0.7	0.7	0.5
x4	0.5	0.7	0.8	0.6

5.2.3. Законы нечёткой алгебры

Две нечёткие формулы F’_i и F’_j называют равносильными и обозначают F’_i≡F’_j, если они имеют одинаковые степени принадлежности. Если две формулы равносильны, то они эквивалентны, т.е F’_i«F’_j.

Законы нечёткой алгебры позволяют исполнять эквивалентные преобразования сложных алгебраических формул и находить степени принадлежности каждого элемента универсального множества в результате исполнения алгебраических операций:

Имя закона	Равносильные формулы F’i≡F’j	Равносильные значения функций принадлежности
Коммутативности	(F'1∪F’2)≡(F’2∪F’1)	max{μF’1(ui), μF’2(ui)}≡max{μF’2(ui), μF’1(ui)}
(F’1∩F’2)≡(F’2∩F’1)	min{μF’1(ui), μF’2(ui)}≡min{μF’2(ui), μF’1(ui)}
Ассоциативности	F’1∪(F’2∪F’3)≡(F’1∪F’2)∪F’3	max{μF’1(ui),max{μF’2(ui), μF’3(ui)}}≡ max{max{μF’1(ui),μF’2(ui)},μF’3(ui)}
F’1∩(F’2∩F’3)º(F’1∩F’2)∩F’3	min{μF’1(ui),min{μF’2(ui), μF’3(ui)}}≡ min{min{μF’1(ui),μF’2(ui)},μF’3(ui)}
Дистрибутивности	F’1∪(F’2∩F’3)≡(F’1∪F’2)∩(F’1∪F’3)	max{μF’1(ui),min{μF’2(ui),μF’3(ui)}}≡ min{max{μF’1(ui),μF’2(ui)},max{μF’1(ui),μF’3(ui)}}
F’1Ç(F’2ÈF’3)≡(F’1ÇF’2)È(F’1ÇF’3)	min{μF’1(ui),max{μF’2(ui),μF’3(ui)}}≡ max{min{μF’1(ui),μF’2(ui)},min{μF’1(ui),μF’3(ui)}}
Идемпотентности	F∪F ≡ F	max{μF’(ui), μF’(ui)} ≡ μF’(ui)
F∩F ≡ F	min{μF’(ui), μF’(ui)} ≡ μF’(ui)
Де Моргана	¬(F1∪F2) ≡ ¬F1∩¬F2	1-max{μF’1(ui),μF’2(ui)}≡ min{(1-μF’1(ui),(1- μF’2(ui)}
¬(F1ÇF2) ≡ ¬F1ȬF2	1-min{μF’1(ui),μF’2(ui)}≡ max{(1-μF’1(ui),(1- μF’2(ui)}
Дополнения	¬(¬F) ≡ F	(1- (1- μF’(ui))) ≡μF’(ui)
Константы	F∪∅ ≡ F F∪U ≡U F∩∅ ≡∅ F∩иºF	-

Дата добавления: 2014-01-04