Метод векторных диаграмм и комплексных амплитуд

Рассмотрим электрическую цепь из последовательно соединенных резистора R, конденсатора С, катушки индуктивности L и генератора переменного напряжения (рис. 8), в которой течет синусоидальный ток .

По второму закону Кирхгофа:

. (10)

Исследуем эту цепь методом векторной диаграммы. Метод векторной диаграммы состоит в следующем: переменные токи, напряжения и ЭДС изображаются в виде векторов, длина которых соответствует амплитуде этих величин, вектора изображаются неподвижными, но подразумевается, что они вращаются против часовой стрелки с частотой . При таком равномерном вращении вектора его проекция на вертикальную ось будет изменяться во времени по законусинуса и, если значение проекции дляразных моментов времени перенести на временную диаграмму, то линия, соединяющая концы отрезков, будет синусоидой (рис. 7).

Р и с. 7

В электрических цепях ток и напряжение обычно имеют одинаковую частоту v, но могут быть сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол . Поэтому на векторной диаграмме вектор тока и вектор напряжения изображаются в виде векторов, сдвинутых на угол друг относительно друга (рис. 7).

Изобразим векторную диаграмму напряжений и тока для последовательной R, L, C - цепи (рис. 8)

Р и с. 8

Векторная сумма , ,(по 2-му правилу Кирхгофа) дает вектор:

.

Если есть несколько токов или напряжений, то напряжения и токи складываются отдельно по правилу сложения векторов. Это метод анализа.

Комплексный метод.

,

где - действительная и - мнимая части, .

,

,

где - аргумент комплексного числа, - его модуль.

Используя формулу Эйлера:

.

Здесь - поворотный множитель.

, , .

Поворот вектора OA на угол эквивалентен умножению его на . Поворот на угол заменяется умножением. При дифференцировании синусоидальной функции, изображение в комплексном виде превращается в умножение.

Комплексное число, изображающее производную синусоидальной функции, равно комплексному числу, изображающему саму функцию, умноженную на .

к.ч.,

к.ч..

Интегрирование сводится к делению на .

,

.

Рассмотрим отдельно каждый из элементов R, L, C.

1) Активное сопротивление не оказывает влияния на входные характеристики входного сигнала (рисунок справа).

.

т. е. сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.

2).

.

Согласно закону Кирхгофа:

.

Разделяя переменные, получим:

,

.

Векторная диаграмма для этого случая:

Здесь ток отстаёт от напряжения по фазе на из-за явления самоиндукции.

Дата добавления: 2014-01-04