Потоки событий

Под потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток покупателей, поток заявок, поток автомобилей).

Поток характеризуется интенсивностью - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Интенсивность стационарного потока есть величина постоянная. Например, поток автомобилей на городском проспекте в часы пик можно считать стационарным (их среднее число будет постоянно и не будет зависеть от времени).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е. поток событий ординарен, если события появляется в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Регулярный поток не является простейшим, т.к. он обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Рассмотрим на оси времени простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.

Для простейшего потока число m событий (точек), попадающих на произвольный участок времени распределено по закону Пуассона:

(1)

для которого мат.ожидание

Вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события (m = 0) равна

(2).

Найдем распределение интервала времени T между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока. В соответствии с функцией (2) вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий равна:

(3)

Вероятность противоположного события:

(4)

– есть функция распределения случайной величины T.

Плотность вероятности: (5) (см. рисунок).

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (5) или функцией распределения (4) называется показательным или экспоненциальным.

Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого мат.ожидание (а) равно среднему квадратическому отклонению случайной величины и обратно по величине интенсивности потока

(6)

Для простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени хотя бы одного события потока равна:

(7) – эта формула тем точнее, чем меньше.

Дата добавления: 2014-01-04