Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейные уравнения первого порядка





Однородные уравнения первого порядка

Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о решении однородных уравнений первого порядка познакомимся с понятием однородных функции.

Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество

.

Так, например, функция однородная функция первого измерения, т.к. ;

функция однородная функция нулевого измерения, т.к. ;

функция не однородная функция, т.к. однородная функция первого измерения, а однородная функция четвёртого измерения.

Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .

Однородные уравнения первого порядка приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки

 

Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и будут однородными функциями одного и того же измерения.

Например, однородное уравнение;

не однородное уравнение.

Замечание: Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой где точка пересечения прямых и Таким образом, для определения и необходимо решить систему уравнений:

 

Если же , то подстановка позволяет разделить переменные.

 

Пример 1. Решить уравнение .

Вычислим определитель . Найдем точку пересечения прямых :

Произведем в исходном уравнении замену переменных: , тогда

Уравнение преобразуется к виду . Это однородное уравнение, которое решается с помощью подстановки .

 

Зная, что , получим или Из замены имеем ,тогда

или .

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид:

(1)

где заданные непрерывные функции от или постоянные числа.

Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от :

(2)

где . Дифференцируя обе части последнего выражения, получим:

(3)

Значения подставим в данное уравнение (1)

 

или

Выберем функцию такой, чтобы

, (4)

тогда . (5)

Решив сначала уравнение (4) и затем уравнение (5), найдём значения и . Подставив значения и в (2) найдём решение уравнения (1).

Замечание: Уравнение вида , (6)

где и , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием: разделим все члены уравнения на

(7)

и произведём замену . (8)

Тогда . (9)

Подставив значения (8) и (9) в (7), получим или

(10)

Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что , найдём решение уравнения (6).

Заметим, что уравнение (6) часто можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки .

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 139; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.001 сек.