КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные уравнения первого порядка
Однородные уравнения первого порядка Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о решении однородных уравнений первого порядка познакомимся с понятием однородных функции. Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и, если при любом справедливо тождество . Так, например, функция однородная функция первого измерения, т.к.; функция однородная функция нулевого измерения, т.к.; функция не однородная функция, т.к. однородная функция первого измерения, а однородная функция четвёртого измерения. Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно и, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и. Однородные уравнения первого порядка приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, однородное уравнение; не однородное уравнение. Замечание: Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой где точка пересечения прямых и Таким образом, для определения и необходимо решить систему уравнений:
Если же, то подстановка позволяет разделить переменные.
Пример 1. Решить уравнение. Вычислим определитель. Найдем точку пересечения прямых: Произведем в исходном уравнении замену переменных:, тогда Уравнение преобразуется к виду. Это однородное уравнение, которое решается с помощью подстановки.
Зная, что, получим или Из замены имеем, тогда или. Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Линейное уравнение первого порядка имеет вид: (1) где заданные непрерывные функции от или постоянные числа. Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от: (2) где. Дифференцируя обе части последнего выражения, получим: (3) Значения подставим в данное уравнение (1)
или Выберем функцию такой, чтобы , (4) тогда. (5) Решив сначала уравнение (4) и затем уравнение (5), найдём значения и. Подставив значения и в (2) найдём решение уравнения (1). Замечание: Уравнение вида, (6) где и, называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием: разделим все члены уравнения на (7) и произведём замену. (8) Тогда. (9) Подставив значения (8) и (9) в (7), получим или (10) Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что, найдём решение уравнения (6). Заметим, что уравнение (6) часто можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 293; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |