Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка

Уравнения вида

Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение

Левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции. Если это уравнение переписать в виде, то его общее решение определяется равенством Функция может быть найдена по формуле

.

Дифференциальное уравнение го порядка имеет вид:

или, если его можно разрешить относительно ой производной,

Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения:

Если в уравнении функция и её частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области, содержащей значения то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям

Эти условия называются начальными условиями.

Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется функция зависящая от произвольных постоянных и такая, что:

1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных;

2) при заданных начальных условиях

постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных, называется частным решением.

Простейшим уравнением го порядка является уравнение вида. Такие уравнения решаются путём интегрирования левой и правой части раз.

...........

Пример 2. Решить уравнение

.

1. Уравнения вида, не содержащие явным образом искомой функции, приводятся к уравнениям первого порядка с помощью подстановки где. Тогда и данное уравнение примет вид - уравнение первого порядка.

Пример 3. Решить уравнение

Это уравнение не содержит явным образом искомую функцию. Выполним подстановку, тогда. Значения и подставим в уравнение:. В результате получим линейное уравнение первого порядка, которое решается с помощью подстановки: или. Функцию выберем такой, чтобы,,,, тогда, откуда или. Следовательно,,,.

2. Уравнения вида, не содержащие явным образом независимую переменную, приводятся к уравнениям первого порядка с помощью подстановки где, но, следовательно. Тогда и данное уравнение примет вид - уравнение первого порядка.

Пример 4. Решить уравнение

Уравнение не содержит явным образом независимую переменную, следовательно, после подстановки в уравнение, получим или,,,. Зная, что, имеем,,,,.

Определение. Дифференциальное уравнение го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и её производных и имеет вид, где и - заданные функции от или постоянные.

Если то уравнение называется неоднородным, если же то уравнение называется линейным однородным уравнением.

Определим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь уравнениями второго порядка:

1. Если и - два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка то есть также решение этого уравнения.

2. Если есть решение уравнения и постоянная, то есть также решение этого уравнения.

Определение. Два решения уравнения и называются линейно независимыми на отрезке, если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т.е. если.

Определение: Если и функции от, то определитель называется определителем Вронского.

3. Если, то.

4. Если и - два линейно независимых решения уравнения, то есть его общее решение, где произвольные постоянные.

Дата добавления: 2014-01-04