Пример линейной модели в экономике

Если экстремум целевой функции в задаче ЛП достигается, то он достигается в некоторой угловой точке допустимого множества.

Точное определение угловой точки не просто, но нам оно пока не нужно. Нужно только понять, что допустимое множество – то, на котором ищется экстремум, - это многогранное тело, вершины этого многогранного тела и есть угловые точки. Таких угловых точек – конечное число.

Задача оптимального планирования.

Пусть предприятие из m видов ресурсов производит n видов продукции. Предположим, что для производства одной единицы j- го вида продукции расходуется а_ij единиц i -го вида ресурса, т.е а_ij - норма расхода i -го ресурса на производство j -й продукции. Матрица A=(a_ij), составленная из норм расхода, называется матрицей норм расхода или технологической.

Заметим, что j -й столбец A_j этой матрицы полностью описывает расход ресурсов на производство одной единицы j-й продукции, a i -я строка описывает расход i -го ресурса на производство единицы каждой продукции или при единичной интенсивности каждой технологии.

Пусть с_j есть величина удельной прибыли от реализации одной единицы

j -й продукции. Эти удельные прибыли образуют вектор-строку С=(c_1,……c_n). Тогда произведение С· Х=c₁ x₁ +…+c_n x_n представляет собой величину прибыли, полученной при реализации Х ^T = (x_{1, …….}x _n) единиц произведенной продукции (Х -вектор-столбец). Обозначим эту прибыль Р(Х).

Пусть b_i обозначает количество единиц i -го ресурса, запасенного на складе. Запишем эти величины запасов в виде b^T =(b_{1 ……}b_m) (b - также вектор-столбец). Тогда матрично-векторное неравенство АХ ≤ b означает необходимость учитывать ограниченность запасов ресурсов при рассмотрении планов производства. Если это неравенство выполняется, значит, для плана Х хватит имеющихся запасов ресурсов b и такой план является реальным или, как говорят, допустимым.

Рассмотрим следующую задачу оптимального планирования: найти такой план производства Х^T =(x_{1 …….}x_n), который бы был допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех допустимых планов. Эту задачу записывают так:

P(X)= c₁ x₁ + …… +c_n x_n →max,

a₁₁x₁ + ……+a_1n x_n≤ b₁,

.

.

.

a_m1 x₁ + ……+a_mn x_n ≤ b_m,

x₁, ….., x_n ≥0,

или в матрично-векторной форме:

P(X)=C·X → max,

AX ≤ B,

X≥ 0

Множество планов, удовлетворяющих последним двум ограничениям, обозначим через D. Оно является множеством допустимых планов. Тогда указанную выше задачу линейного программирования можно сформулировать так:

Найти максимум функции прибыли P(X) = C·X на множестве D допустимых планов.

В матрично-векторной форме задача оптимального планирования имеет вид:

P(X) → max,

X € D.

Дата добавления: 2014-01-04