Вероятностное описание результатов измерения и погрешностей

МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЙ ПОСТОЯННОЙ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ

1). Измеряемая величина заменяется известными (измерение сопротивлений мостом постоянного токаи мерами сопротивления);

2). Мера компенсации погрешности по закону. Два изменения проводят так, что постоянная систематическая погрешность входила в результат каждого, но с разными знаками;

3). Мера рандумезации (универсальная) – ФВ измеряется разными приборами. При увеличении числа приборов постоянные систематические погрешности взаимокомпенсируются;

4). Метод противопоставления – измерения проводятся дважды, постоянная погрешность в обоих случаях должна влиять на разные, но известные результаты наблюдений.

Пример

Измерить сопротивление R_х. R_х уравновешивают известным R ₁, которое включено в плечо сравнения моста.

R 3 = R 4 – сопротивление плеч моста I 3 R 3 = I 4 R 4 Ток из источника делится на 2 ветви I 3, I 4. Чтобы мост был в равновесии, падение напряжения на плечах bc, cd должно быть одинаковым, т.е. R 1 I 1 = IxRx. Тогда При отсутствии протекания тока через 0 Прибор – равновесие, тогда I 3 = I 4 и I 1 = Ix   Затем Rx и R 1 меняют местами и вновь уравновешивают мост, получаем, Исключаем постоянную систематическую погрешность.

Меры исключения переменной систематической погрешности

1). Графические. Если плавность кривой соблюдается, то присутствует переменная систематическая погрешность.

2). Анализ знаков неисправленных случайных погрешностей:

а – если знаки случайных знаков чередуются с какой-либо закономерностью, то наблюдается переменная систематическая погрешность;

б – если ряд знаков «+» у случайных погрешностей сменяется рядом «–» или наоборот, то присутствует монотонноизменяющаяся систематическая погрешность;

в – если группы знаков «+» и «–» в случайных погрешностях чередуются, то это периодическая систематическая погрешность.

Результат измерения и его погрешность могут рассматривать как случайные величины. Случайные погрешности образуются из-за разброса результата относительно некоторого значения. Случайные величины описывают дифференциальными и интегральными функциями распределения.

Пример

Рассмотрим формирование дифференциальной функции распределения плотности вероятностей случайной величины на примере многократных измерений.

Пусть проведено n последовательных измерения одного и того же параметра. Получена группа результатов х ₁, х ₂ … х_n. Каждое значение x_i содержит ту или иную случайную погрешность. Результаты измерений располагают в ряд в порядке возрастания и определяют размах ряда L = x_max – x_min.

Размах делят на k равных интервалов шириной Δ l. Подсчитывают количество измерений, попадающих в каждый интервал. Результаты представляют графики. По оси абсцисс наносят значение измеряемого параметра и обозначают границы интервала. По оси ординат – относительную частоту попаданий. Получают гистограмму. Она дает картину о плотности измерения результатов в данном опыте. Например, по результатам опыта получена таблица при n = 50.

№ инт.
nk
	0,1	0,2	0,36	0,22	0,12

Построим гистограмму.

При увеличении числа измерений и уменьшении ширины интервала Δ l → 0, ступенчатая кривая переходит в плавную кривую f (x). Она называется дифференциальной кривой плотности распределения вероятностей случайной величины. Уравнение, которое описывает эту кривую, называется дифференциальным законом распределения. Кривая плотности распределения вероятности f (x) всегда положительна и подчиняется условию нормирования, которое имеет вид.

Это означает, что вероятность нахождения случайной величины х в интервале от -∞ до +∞ равна 1, т.е. представляет собой достоверное событие.

В практике измерений случаются разные формы кривой закона распределения. Чаще имеют дело с нормальным и равномерным распределением. Оно возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных факторов, причем ни один из них не является преобладающим. В аналитической форме нормальный закон распределения выражается формулой,

где х – результат измерений (случайная величина)

m_x – математическое ожидание случайной величины

σ – среднее квадратическое отклонение.

Если начало координат переместить в центр распределения математического ожидания, а по оси абсцисс откладывать абсолютную погрешность Δ x_i, то получим кривую нормального распределения погрешностей.

При числе измерений n ≥ 50 для подтверждения подчинения экспериментальных данных нормальному закону распределения используют критерий Пирсена χ².

При 50 > n > 15 для проверки нормального закона распределения используют составной d -критерий. При n < 15 принадлежность экспериментальных данных нормальному закону не проверяется.

Дата добавления: 2014-01-04