Проблема множественности решений системы логических уравнений

Метод подстановки для простейших структур

Рассмотрим метод подстановки для простой мостиковой схемы:

Система логических уравнений для нее будет иметь вид:

Критерий функционирования:

Будем подставлять одно уравнение в другое в найдем ФРС:

Если структурно-функциональная схема исследуемой технической системы не содержит в себе замкнутых контуров (циклов), то метод подстановки позволяет легко к решению системы уравнений. Однако, технические системы могут содержать в себе замкнутые технологические циклы, а также перемычки различного рода.

Перемычкой между двумя элементами A и B будем называть линию, по которой некоторый ресурс может передаваться между элементами в любом из двух направлений: от A к B и от B к A – но не одновременно в обе стороны.

В качестве примера замкнутого технологического процесса можно рассмотреть работу бензинового двигателя внутренного сгорания: для поджега топливо нужно электричество от аккумулятора, который заряжается от генератора, который получает вращательный момент от работающего двигателя. Примером перемычки может служить электрический кабель, соединяющий два распределительных щита, по которому электроэнергия может передаваться в заданном направлении.

Для подобный систем метод подстановки может приводить к неоднозначному решению. Рассмотрим это на следующих двух примерах.

Схема с замкнутым технологическим процессом

Этой схеме соответствует следующая система уравнений:

Найдем выражение для методом подстановки:

т.е. мы получили логическое уравнение вида .

Подстановка уравнения самого в себя новых результатов не дает:

Составим таблицу истинности для этого уравнения:

a	b	y	ay+b

Выберем из неё только верные комбинации, т.е. строки в которых действительно.

a	b	y

и представим в виде зависимости для уравнения :

		a
b			0/1

Отсюда видно, что при и y может принимать любые значения: 0 или 1. Тогда решение уравнения можно сформировать в следующем виде:

,

Здесь r – свободный параметр, который может принимать значения ноль или один.

Проверим правильность найденного обшего решения. Действительно:

Посколько r может принимать два значения, то существую два частных решения:

1. 
2. 

Эта множественность решений порождает вопрос, какое же решение будет соответствовать «физике» работы системы. Первое частное решение соответствует случаю, когда мы не разрываем замкнутый контур, второе – случаю разрыва контура.

В рассматриваемой схеме с замкнутым технологическим процессом цикл не должен разрываться, иначе мы потеряем один из КПУФ, поэтому нужно выбрать . Тогда решение будет:

Схема с перемычкой

В этой схеме элементы 1 и 2 (распределительные щиты) соединены друг с другом перемычкой, так чтобы ресурс мог перетекать или от 1 к 2, либо наоборот, либо перемычка была закрыта. Элементы 3 и 4 являются источниками энергии. Этой схема соответствует следующая система уравнений:

Методом подстановки находим решения для :

Обшее решение будет иметь вид:

,

Если и в этот раз мы примем равным 1, то потеряем часть КПУФ:

,

К тому же, исходя из этого решения, будет существовать КПУФ (1,2). Т.е. возможна ситуация, когда на распределительном щите будет энергия при неисправных обоих источниках, что не может соответствовать действительно, т.к. иначе энергия должна откуда-то появиться просто между двумя щитами.

Поэтому, когда мы имеем дело с перемычкой, мы должны выбирать , т.е. разрыв цикла:

Эти размышления легко применить для простых примеров. Однако, если схема сложна и содержит в себе множество циклов, то ответ на вопрос, в каких случаях циклы разрывать, а в каких оставлять, будет сложным. К тому же анализ структурно-сложных технических систем невозможно произвести в ручную из-за огромной трудоемкости вычислений. Поэтому необходимы легко формализуемые правила отбора такого частного решения СЛУ, которое соответствует реальной логике работы системы.

Дата добавления: 2014-01-03