ТЕМА 1. Основы математического моделирования

ГОРШКОВЫМ Е.А.

Цели: сформировать представление об основных понятиях математического моделирования, функциях и подходах к описанию моделей, их классификации. Изучить основные методы исследования моделей. Методы оценки адекватности моделей.

Задачи:

ü изучить основные понятия математического моделирования;

ü рассмотреть классификацию моделей;

ü изучить основные методы оценки адекватности и точности моделей.

После изучения темы Вы должны знать:

ü основные понятия математического моделирования. Основные функции и подходы к описанию моделей;

ü классификацию моделей;

ü основные методы оценки адекватности моделей.

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта – оригинала с помощью объекта – модели.

Модель - физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта. Существует ряд общих требований к моделям:

1. Адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;

2. Полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3. Гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;

4. Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Классификация моделей.

В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Различают физические и абстрактные (математические) модели (Рис.1).

Рис. 1.— Классификация видов моделей

1. Физические модели - система, эквивалентная или подобная оригиналу, но возможно имеющая другую физическую природу. Например продувка моделей самолетов в аэродинамических трубах. Физическое моделирование сопряжено с большими временными и материальными затратами. Виды Ф.М.: натуральные; квазинатуральные; масштабные; аналоговые.

Натуральные модели — это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы).

Квазинатуральные модели — совокупность натуральных и математических моделей. Используется, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, АСУ).

Масштабная модель – уменьшенные или увеличенные копии (модель самолета или корабля);

Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства вычислительной техники на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.

2. Математические модели. По Севостьянову А. Г. [1]: «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе».

Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами.

Виды ММ:

1. Аналитическое моделирование - процесс функционирования элементов системы записывается в виде некоторых математических соотношений (алгебраических, интегральных, разностных и т. д.) или логических условий.

Аналитическая модель исследуется следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик системы;

2) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты, но при конкретных начальных данных;

3) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Введем в рассмотрение необходимые определения.

Процессом называется серия реальных операций или обработок исходных материалов.

Системой (объектом) называется процесс или часть процесса, выбранная для анализа.

Математической моделью называется приближенное описание реального процесса, выраженное с помощью математических соотношений.

2. Компьютерное моделирование – представление математической модели системы в виде программы на ЭВМ или компьютерной модели, позволяющей проводить с ней вычислительные эксперименты. Виды КМ: численное, имитационное, статистическое.

При численном моделировании для построения компьютерной модели используются методы вычислительной математики, а вычислительный эксперимент заключается в численном решении некоторых математических уравнений при заданных значениях параметров и начальных условиях (например, метод конечных разностей, - объемов, - элементов).

Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику (например, при моделировании бизнес-процессов, регулировке дорожного, уличного движения и т.д.)

Статистическое моделирование - построение и изучение моделей реально существующих предметов, процессов или явлений (например: экономических процессов в эконометрике) с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений или показателей, интересующих исследователя.

Классификация математических моделей

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими. Детерменированные модели - это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления. Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов, т.е. на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление.

По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими. Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени. В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.

Линейные модели - все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.

Дата добавления: 2014-01-04