ТЕМА 2. Аналитические модели систем массового обслуживания

Internet-ресурсы

Вопросы для самопроверки

Пример математической модели

1) Задачи о движении снаряда. Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Решение. Пренебрегая размерами снаряда, будем считать его материальной точкой. Введем систему координат xOy, совместив ее начало O с исходной точкой, из которой пущен снаряд, ось x направим горизонтально, а ось y — вертикально (рис. 2). Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

Рис. 2 Схема движения снаряда

где t — время, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x², S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

Выводы

В данной теме рассмотрены следующие вопросы: основные понятия математического моделирования, функции и подходы к описанию моделей, их классификация, основные методы исследования моделей. Методы оценки адекватности моделей.

1. Охарактеризуйте понятия: стандартизация, уровень стандартизации, стандарт, предварительный стандарт, документ технических условий, свод правил.

2. Охарактеризуйте уровни стандартизации.

3. Опишите применяемость отраслевых стандартов.

№ п/п	Адрес	Описание
1.1	http://stunik.ru/component/content/article/8988-3-120.html#_toc247686765	Понятие модели. Классификация видов моделирования. Компьютерное моделирование
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

Цели: изучить основные понятия моделирования систем массового обслуживания.

Задачи:

ü Основы моделирования систем массового обслуживания.

ü Потоки заявок. Классификация потоков.

ü Марковские модели (простейшие, одноканальные и многоканальные с очередями).

ü Методы приближенной оценки характеристик систем массового обслуживания.

После изучения темы Вы должны знать:

ü Основы моделирования систем массового обслуживания.

ü Потоки заявок. Классификация потоков.

ü Марковские модели (простейшие, одноканальные и многоканальные с очередями).

ü Методы приближенной оценки характеристик систем массового обслуживания.

Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания какого-либо потока заявок. Система может осуществлять конечное число операций различного типа. Элемент системы, в котором происходят операции, называется обслуживающим прибором.

Основными элементами СМО являются:

1. Входящий поток требований (заявка на обслуживание)

2. Накопитель (очередь)

3. Приборы (каналы обслуживания)

4. Выходящий поток (обслуженная заявка)

Заявки обслуживаются каналами (обслуживания). Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.

Примерами СМО (см. табл. 1) могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.

Цель теории массового обслуживания – выработка рекомендаций по рациональному построению СМО.

Таблица 1. Примеры систем массового обслуживания

СМО	Заявки	Каналы
Автобусный маршрут и перевозка пассажиров	Пассажиры	Автобусы
Производственный конвейер по обработке деталей	Детали, узлы	Станки, склады
Влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО	Самолеты	Зенитные орудия, радары, стрелки, снаряды
Ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны	Патроны	Ствол, рожок
Электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве	Заряды	Каскады технического устройства

На рис 3. изображена структурная схема типичной системы массового обслуживания – ремонтного предприятия (например, по ремонту ПЭВМ). Порядок ее работы ясен из схемы и не требует разъяснений.

Рис 3. Структурная схема СМО ПЭВМ

Классификация СМО.

В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам. Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в СМО происходит случайный процесс.

По характеру случайного процесса, происходящего в СМО, различают системы марковские и немарковские.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток заявок, поток отказов).

В случае немарковских процессов задачи исследования СМО значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди).

1. По дисциплине обслуживания различают:

- FIFO (First In, First Out — первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание;

- LIFO (Last In, First Out — последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример — патроны в рожке автомата);

- SF (Short Forward — короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

Пример (давать не обязательно), показывающий, как правильный выбор той или иной дисциплины обслуживания позволяет получить ощутимую экономию по времени.

Пусть имеется два магазина. В магазине № 1 обслуживание осуществляется в порядке очереди, то есть здесь реализована дисциплина обслуживания FIFO (рис. 4).

Рис. 4. Организация очереди по дисциплине FIFO

Время обслуживания t _{обслуж.} на рис. 4 показывает, сколько времени продавец затратит на обслуживание одного покупателя. Понятно, что при покупке штучного товара продавец затратит меньше времени на обслуживание, чем при покупке, скажем, сыпучих продуктов, требующих дополнительных манипуляций (набрать, взвесить, высчитать цену и т. п). Время ожидания t _ожид. показывает, через какое время очередной покупатель будет обслужен продавцом.

В магазине № 2 реализована дисциплина SF (рис. 5), означающая, что штучный товар можно купить вне очереди, так как время обслуживания t _{обслуж.} такой покупки невелико.

Рис. 5. Организация очереди по дисциплине SF

Как видно из обоих рисунков, последний (пятый) покупатель собирается приобрести штучный товар, поэтому время его обслуживания невелико — 0.5 минут. Если этот покупатель придет в магазин № 1, он будет вынужден выстоять в очереди целых 8 минут, в то время как в магазине № 2 его обслужат сразу же, вне очереди. Таким образом, среднее время обслуживания каждого из покупателей в магазине с дисциплиной обслуживания FIFO составит 4 минуты, а в магазине с дисциплиной обслуживания КВ — лишь 2.8 минуты. А общественная польза, экономия времени составит: (1 – 2.8/4) · 100% = 30 процентов! Итак, 30% сэкономленного для общества времени — и это лишь за счет правильного выбора дисциплины обслуживания.

При анализе результатов моделирования важно также указать интересы и степень их выполнения. Различают интересы клиента и интересы владельца системы. Заметим, что эти интересы совпадают не всегда.

2. По характеру источника требований (количеством мест в очереди) различают СМО с конечным и бесконечным количеством требований на входе, т.е ограниченные и неограниченные очереди.

В первом случае в системе циркулирует конечное, обычно постоянное количество требований, которые после завершения обслуживания возвращаются в источник.

Во втором случае источник генерирует бесконечное число требований.

Пример 1. Цех с постоянным количеством станков или определенное количество ПЭВМ в терминальном классе, требующих постоянного профилактического осмотра и ремонта.

Пример 2. Сеть Internet с бесконечным требованием на входе, любой магазин, парикмахерская и т.д.

Первый вид СМО называют замкнутой, второй – разомкнутой.

3. По характеру организации очереди:

- с отказами;

- системы с неограниченной очередью;

- системы с ожиданием и ограниченной очередью;

В первом случае заявка получает отказ, когда канал занят. Во втором случае – ставится в очередь и ждет освобождения канала. В третьем случае вводится ограничения на длительность ожидания.

4. По составу СМО делятся на одноканальные и многоканальные (рис. 6.).

б)

…

а)

Рис. 6. а – одноканальная СМО; б – многоканальная СМО

В многоканальных СМО каждый прибор может обслужить заявку.

5. По числу этапов (фаз) обслуживания - на однофазные и многофазные. (Примером многофазных СМО может служить любая поточная линия).

6. По свойствам каналов: на однородные, когда каналы имеют одинаковую характеристику и неоднородные в противном случае.

Рассмотрим характеристики входящего потока требований (заявок)

Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и определяется следующим соотношением:

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим и обладает следующими свойствами:

1. Стационарность, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени определенной длины зависит только от длины этого участка. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2. Отсутствие последействия, т.е. требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3. Ординарность, т.е. невозможность одновременного поступления двух или более требований. Вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

,

где λ(интенсивность) - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

Дата добавления: 2014-01-04