Качественное сравнение цифровых интеграторов

Экстраполяционный метод трапеций.

Интерполяционный метод трапеций (Метод Тастина)

Экстраполяционный метод прямоугольников.

Интерполяционный метод прямоугольников.

Цифровые интеграторы.

Выше было показано, что метод конечных разностей сводится для линейных уравнений к замене оператора дифференцирования р приближенным соотношением (3.10).

В свою очередь, это можно трактовать, как замена оператора интегрирования:

(3.12)

Рассмотрим некоторые способы численного интегрирования и соответствующие им операторы. Операция интегрирования может быть записана в виде уравнения и передаточной функции интегратора w(p):

(3.13)

Точное решение уравнения (3.13) на шаге h имеет вид:

На Рис.5. величина представлена площадью под кривой y(t+τ)

y(t) y(t+h)

y(t)

t

k

x(k) t t t+h

x(k+1)

x(k) }Dx

t

k k+1 k

Рис5. Интегрирование на шаге h.

При дискретном по времени представлении величин значения y(t+t) внутри шага h неизвестны, поэтому вычислить точное значение интеграла невозможно. Приближенно значение можно вычислить несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.

В этом методе интегрируемая функция y(t+τ) на интервале h принимается постоянной, равной значению y(t+h). Приближенное значение интеграла при этом вычисляется по формуле:

Применяя к этому соотношению операцию z - преобразования, получим:

(z-1)X(z) = hzY(z)

Отсюда получим дискретную передаточную функцию цифрового интегратора, построенного по интерполяционному методу прямоугольников:

(3.14)

Здесь - оператор приближенного интегрирования (аналог) и D -оператор приближенного дифференцирования, являющийся аналогом оператора дифференцирования р.

Сравнивая (3.10) и (3.12) с (3.14) видим, что метод конечных разностей и интерполяционный метод прямоугольников эквивалентны.

Интегрируемая функция y(t+τ) на интервале h принимается постоянной, равной значению y(t). Тогда

x(t+h)=x(k+1)=x(k)+hy(k)

Отсюда, используя операцию z - преобразования, получим дискретную передаточную функцию цифрового интегратора, построенного по экстраполяционному методу прямоугольников:

(3.15)

Интегрируемая функция y(t+t) на интервале h принимается линейной, соединяющей точки y(t) и y(t+h).

В этом случае

Отсюда:

(3.16)

Интегрируемая функция y(t+t) на интервале h принимается линейной, соединяющей точки y(t-h) и y(t), что иллюстрируется рис.6.

y

y(t+t)

y(t)

y(t-h)

t

t-h t t+h

t

k-1 k k+1 k

h h

Рис.6. Интегрирование экстраполяционным методом трапеций.

В этом случае

Отсюда, используя z - преобразование:

(3.17)

Построение дискретной передаточной функции W(z) (3.9) подстановочными методами, cоответствующей непрерывной передаточной функции W_ф (p) (3.1), сводится к замене оператора р приближенным оператором D, например, одним из перечисленных выше.

Легко видеть, что применение оператора (3.15) сохраняет порядок n знаменателя и m числителя в дискретной передаточной функции.

Операторы (3.14) и(3.16), независимо от m приводят к одинаковым порядкам числителя и знаменателя W(z), равным n.

Оператор (3.22) удваивает порядок знаменателя W(z), а порядок числителя делает равным (n+m). Обобщая вышесказанное можно сделать следующие заключения:

а) Если порядок числителя и знаменателя оператора D одинаков, то порядки числителя и знаменателя W(z) тоже одинаковы, независимо от m.

Это означает, что к вычислению очередного, (k+1)- го, отсчета x(k+1) можно приступить только тогда, когда в ЦВМ поступит y(k+1).

б) Если порядок знаменателя D хотя бы на единицу меньше порядка его числителя, то при m < n порядок числителя W(z) меньше порядка его знаменателя.

Из этого следует, что вычиcление x(k+1) можно начинать сразу же после поступления в ЦВМ отсчета y(k).

При работе ЦВМ в реальном времени случай б) имеет перед случаем а) большое преимущество ввиде резерва времени величиной в h.

в) При порядке числителя оператора D, большем единицы, в передаточной функции W(z) возникают дополнительные, паразитные, корни характеристического уравнения, что может привести к большим искажениям полученного результата, вплоть до потери устойчивости решения.

Дата добавления: 2014-01-04