Решение общего уравнения

ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ

Оценка погрешностей операторов цифровых интеграторов.

Если в передаточной функции W(p) оператор р выполняется с малой погрешностью Dр, то малую погрешность передаточной функции можно записать:

(3.23)

Операторы D цифровых интеграторов, являются приближенными выражениями оператора р, поэтому можно записать:

(3.24)

Выражение (3.9) дает точную зависимость операторов р и z:

(3.25)

Приведем известные [6] разложения в ряды экспоненциальной и логарифмической функций.

(3.26) (3.27)

(3.28)

(3.29)

Сопоставляя (3.18) с (3.26) и (3.27) с учетом (3.25) можно видеть, что для экстраполяционного метода прямоугольников оператор D определяется первыми двумя членами рядов (3.26) и(3.27). Из (3.24) и (3.26)можно получить выражение для экстраполяционного метода прямоугольников:

(3.30)

Здесь - относительная погрешность оператора D.

Оператор D для интерполяционного метода прямоугольников соответствует первому члену ряда (3.28).Из (3.16), (3.24), (3.25) и (3.28) получим:

(3.31)

Оператор D для Метода Тастина соответствует первому члену ряда (3.29). После некоторых преобразований, из (3.20), (3.24), (3.26), (3.29) можно получить:

(3.32)

Для экстраполяционного метода трапеций ошибку оператора D получим путем непосредственных вычислений из соотношений (3.24), где D взято из (3.22)

(3.33)

Используя разложение (3.26), после некоторых преобразований получим:

Отсюда, с учетом (3.33):

(3.34)

Сравнивая выражения (3.30)--(3.34) для погрешностей, можно видеть, что методы прямоугольников равноценны по точности и имеют первый порядок малости погрешностей по h.

Методы трапеций имеют второй порядок малости погрешностей, однако метод Тастина несколько точнее.

При необходимости работать в реальном времени экстраполяционные методы имеют преимущество.

РАЗДЕЛ 4

При численном решении линейных стационарных дифференциальных уравнений попытаемся использовать тот факт, что часть общего решения, описывающая свободное движение, имеет простую аналитическую форму, и может быть вычислена точно. Таким образом, погрешность общего решения будет определяться только погрешностями вынужденной части решения. Методы, основанные на этом, будем называть полуаналитическими.

Решение дифференциального уравнения (3.2), соответствующего передаточной функции (3.1), по существу, сводится к решению вспомогательного дифференциального уравнения (4.1) с промежуточной переменной z

, (4.1)

которому соответствует промежуточная передаточная функция (2.2):

Имея решение по z и ее производным, легко сформировать решение по x, которое, в соответствии с (2.4), имеет вид:

(4.2)

Решение уравнения (4.1) на шаге h z(t+h) с заданными начальными условиями

(4.3)

можно представить в виде [7]:

(4.4)

Здесь:

-общее решение однородного уравнения, соответствующего (4.1)

-частное решение (4.1)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

, (4.5)

где определяются начальными условиями (4.3).

Частное решение зависит от вида внешнего возмущения y(t+h), которое можно представить в виде разложения в ряд Тейлора:

(4.6)

При такой форме входного возмущения частное решение можно искать в виде:

(4.7)

Подставив (4.6) и (4.7) в уравнение (4.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h, получим бесконечную систему уравнений с треугольной матрицей ленточного типа, которая при ограничении ряда (4.6) становится конечной и разрешимой относительно из (4.7). Для уравнения четвертого порядка (n = 4) и при отбрасывании в разложении (4.6) членов выше, получим:

Подставив (4.5) и (4.7) в (4.4) и продифференцировав по h последнее (n-1) раз, получим:

(4.8)

Полагая в (4.8) h=0 и используя (4.3), будем иметь:

(4.9)

Разрешив уравнение (4.9), используем в (4.8), откуда получим исходные данные для следующего шага вычислений и данные для вычисления выходной величины x(t+h) по (4.2).

Дата добавления: 2014-01-04