Решение уравнения второго порядка

Решение уравнения первого порядка

В главе 2 было показано, что структурная схема фильтра может быть представлена в виде последовательного (рис.3) или параллельного (рис.4) соединений простейших динамических звеньев первого и второго порядков. Поэтому рассмотрим цифровую реализацию таких звеньев, из которых можно формировать цифровые фильтры произвольной сложности.

Звено первого порядка, соответствующее к- тому вещественному корню, описывается дифференциальным уравнением:

(4.10)

Решение на шаге будем искать в виде разложения в ряд Тейлора:

(4.11)

Производные, присутствующие в (4.11), вычислим в силу уравнения (4.10):

(4.12)

Подставив производные (4.12) в (4.11), будем иметь:

(4.13)

Из (4.13), с учетом разложения экспоненты (3.26),можно получить (4.14)

Здесь:

(4.15)

Первое слагаемое в (4.14) характеризует собственное движение звена, второе- вынужденное. Все коэффициенты (4.15) в правой части (4.14) могут быть вычислены заранее и точно. Таким образом, погрешность решения (4.14) на шаге h определяется только неучтенными членами разложения (4.11) и погрешностями вычисления производных от входной величины y(t), представленной дискретными отсчетами.

В главе 2, соотношения (2.20)--(2.22), показано, что паре комплексных корней характеристического уравнения фильтра в структурной схеме рис.4 соответствует звено второго порядка с вещественными коэффициентами.

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:

(4.16)

Корни характеристического уравнения для (4.16) обозначим:

(4.17)

Вспомогательное уравнение (4.1) будет иметь вид:

(4.18)

Основная переменная х связана с промежуточной переменной z соотношением:

(4.19)

Решение на шаге h уравнения (4.18) представим в виде

(4.20)

Здесь

- общее решение однородного уравнения

- частное решение неоднородного уравнения (4.18).

При комплексных корнях характеристического уравнения

(4.21)

Входную переменную представим в виде ряда Тейлора:

(4.22)

Если использовать рассматриваемый алгоритм для численного решения на шаге, то ряд (4.22) необходимо оборвать. Будем удерживать члены не выше второй производной.

При этом частное решение будем искать в виде:

(4.23)

Подставив (4.23) и (4.22) в (4.18) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h до второго порядка включительно, найдем:

(4.24)

Подставив (4.21) и (4.23) в (4.20), получим:

(4.25)

Положим в (4.25) h=0:

(4.26)

Уравнения (4.26) определяют коэффициенты А и В:

(4.27)

Представленные выше соотношения позволяют построить алгоритм численного решения на шаге h.

1. Из предыдущих шагов вычислений известны z(t),, а также измеренные

Величины y(t), y(t-h), y(t-2h)...

2. По некоторому алгоритму вычисляются приближенные значения производных от входной величины

3. По уравнениям (4.24) вычисляются

4. По (4.27) вычисляются А и В.

5. По (4.25) вычисляются z(t+h) и

6. По (4.19) вычисляется x(t+h)

Используя соотношения (4.24) и (4.27), решение (4.25) на шаге h можно привести к следующему виду:

(4.28)

Здесь обозначено:

(4.29)

Все величины (4.29) при заданном шаге h вычисляются точно и вне цикла численного решения. Соотношения (4.28) вместе с (4.19) дают алгоритм численного решения исходного уравнения второго порядка (4.16)

Погрешность решения на шаге возникает, как и для уравнения первого порядка, только от неучтенных членов в разложении (4.22) и приближенного вычисления производных от входной величины y(t), представленной дискретными отсчетами.

РАЗДЕЛ 5

Дата добавления: 2014-01-04