Определение закона распределения результатов измерений или

Определение точечных оценок закона распределения результатов

измерений. На этом этапе определяются:

− среднее арифметическое значение X измеряемой величины по

− оценка СКО результата измерения S_x

− оценка СКО среднего арифметического значения S_x.

В соответствии с критериями, рассмотренными выше, исключаются грубые погрешности и промахи. После их исключения проводится повторный расчет среднего арифметического значения и оценок его СКО.

случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений x ₁, x ₂,…, x_n переходят к выборке отклонений от

среднего арифметического Δ x ₁, Δ x ₂,…, Δ x_n, где Δ x_i = x_i − Xср. Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений x_i, где i =1, 2,…, n, вариационного ряда (упорядоченной выборки) y_i, где y ₁ = min x_i и y_n = max x_i. Β вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h =(y ₁ + y_n)/ m. Оптимальным является такое число интервалов m, при котором

возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде Δ₁ = (y ₁, y ₁ + h); Δ₂ =(y ₁ + h, y ₁ + 2 h);…; Δ _m = (y_n − h, y_n) и подсчитывают число попаданий n_k (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма частот должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов

группирования по формуле p_k = n_k/ n, где k =1, 2,…, m. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений x (рис.15) откладываются интервалы Δ _k в порядке

возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой p_k.

Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблюдений n. Иногда высоту прямоугольника откладывают равной эмпирической плотности вероятности p_k ^* = p_k/ Δ _k = n_k/(n Δ _k), которая является оценкой средней плотности в интервале Δ _k. В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой – графику плотности распределенияn вероятности. Следует отметить, что в ряде случаев производят расчетное симметрирование гистограммы, методика которого приведена в [17].

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы (см. рис. 4.12, а). Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс. Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью x образуется замкнутая

фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть

Рис.15. Гистограмма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)

Кумулятивная кривая – это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений (рис.15, б) откладывают интервалы Δ _k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой

Значение F_k называется кумулятивной частостью, а сумма n_k –кумулятивной частотой.

По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона χ² (хи-квадрат) или критерий Мизеса–Смирнова (ω²). При 50 > n >15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207–76. При n <15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных интервалов случайной погрешности.

Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель z_p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности Δ = ± z_p S_x.

Дата добавления: 2014-01-04