Основні закони масопередачі

В процесах переносу речовини, що розподіляється, з однієї фази в іншу розрізняють два випадки:

переніс з потоку рідини в потік рідини, або масообмін між потоками рідини;

переніс з твердого тіла в потік рідини (або переніс у зворотному напрямку), тобто
масообмін між твердою фазою і потоком рідини.

Елементарними законами, котрим підчиняється переніс речовини, що розподіляється, з однієї фази в іншу, є закон молекулярної дифузії, закон масовіддачі і закон масопровідності.

8.9 Закон молекулярної дифузії (перший закон Фіна)

Молекулярна дифузія в газах і розчинах рідин відбувається в результаті хаотичного руху молекул, не пов'язаного з рухом потоку рідини. Відбувається переніс молекул речовини, що розподіляється, з області високих концентрацій в область низьких концентрацій. Кінетика переносу відповідає в цьому випадку першому закону Фіка: кількість продифундованої речовини пропорційна градієнту концентрацій, площі, перпендикулярній напрямку дифузійного потоку і часу.

(8.9.1)

де dM - кількість продифундованої речовини;

дС/дХ - градієнт концентрацій в напрямку дифузії;

dF - елементарна площадка, через яку проходить дифузія;

dr- тривалість дифузії;

D - коефіцієнт пропорційності, або коефіцієнт дифузії.

З рівняння (8.7.4.) випливає:

коефіцієнт дифузії показує, яка кількість речовини дифундує через поверхню 1м² протягом 1с при різниці концентрацій на відстані 1м. рівній одиниці.

Знак мінус в правій частині рівняння показує, що при молекулярній дифузії в напрямку переміщення речовини концентрація зменшується.

Очевидно, що спосіб вираження концентрації і її розмірність визначають розмірність коефіцієнта дифузії.

Якщо прийняти одиниці вимірів [М]=кг, [F]=m², [т]=с, [С]=кг/м³, [Х]=м, то одиниця виміру D буде:

Чисельні значення коефіцієнту дифузії беруться з довідника або знаходяться з наступних формул:

для газів

(8.9.2)

для рідин

(8.9.3)

де Т-абсолютна температура, К;

Р -тиск, Па;

V і V - мольні об'єми взаємодіючих речовин, см³/моль;

М_А і М_в – мольні маси, кг/моль;

μ - в'язкість рідини, в котрій відбувається дифузія,

Коефіцієнт дифузії залежить від агрегатного стану системи (D для газів приблизно на чотири степені вище, ніж для рідин). Коефіцієнт дифузії збільшується зі збільшенням температури і зменшується з підвищенням тиску. Коефіцієнт дифузії в рідинах (на відміну від газів) суттєво змінюється зі зміною концентрації.

Формула (8.9.3.) справедлива лише для розбавлених розчинів. Для концентрованих розчинів необхідний відповідний перерахунок, для якого рекомендується наступна залежність:

(8.9.4)

де D_x - коефіцієнт дифузії в розчині з концентрацією С; а - активність дифундуючої речовини; С - концентрація дифундуючої речовини; γ - коефіцієнт активності.

8.10 Диференційне рівняння молекулярної дифузії (другий закон Фіка)

Для виведення диференційного рівняння молекулярної дифузії виділимо в нерухомому середовищі або в рухомому ламінарному потоці елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz (рис. 8.9.1).

Якщо через цей елементарний паралелепіпед за рахунок молекулярної дифузії переміщується речовина, що розподіляється, то через ліву задню і нижню грань за час dτ в нього входять кількості речовини, відповідно М_х, M_y, М_z, а через протилежні грані - праву, передню і верхню - виходять кількості речовини відповідно M_x+dx,M_y+dy,M_z+dz. Отже, елемент за час dτ набуває дифундуючої речовини в кількості

dM=(M_x - M_x+dx)+(M_y- M_y+dy)+(M_z - M_z+dz).

При цьому концентрація дифундуючої речовини підвищується на

Згідно основного закону молекулярної дифузії,

Отже,

Аналогічно знайдемо:

Складемо ліві та праві частини останніх рівнянь, отримаємо:

(8.10.1)

З іншої сторони, той же приріст кількості дифундуючої речовини в елементі можна знайти множенням об'єму елемента на зміну концентрацію за час dτ, тобто

(8.10.2).

Співставимо вирази (8.10.1) і (8.10.2) і отримаємо диференційне рівняння
молекулярної дифузії:

(8.10.3)

8.11 Закон масовіддачі (закон Щукарева )

Основний закон масовіддачі, або конвективної дифузії, був вперше сформульований Щукаревим при вивченні кінетики розчинення твердих тіл.

Він може бути сформульован так:

кількість речовини перенесеної від поверхні розподілу фаз у сприймаючу фазу, пропорційна різниш концентрацій у поверхні розподілу Фаз і в ядрі потоку сприймаючої фази, поверхні фазового контакту і часу ( рис..8.11.2):

d²M = p(C_r-C_f )dFdτ, (8.11.1)

де β- коефіцієнт масовіддачі - характеризує переніс речовини конвективними і дифузійними потоками одночасно; С_r - концентрація у сприймаючій фазі біля поверхні розподілу фаз; С f - концентрація в ядрі потоку сприймаючої фази.

При цьому слід зазначити, що концентрація на границі розглядається як рівноважна концентрація.

Якщо прийняти одиницю виміру

[М]=кг, [F]=m², [ τ ]=с, [С]=кг/м³, то одиниця виміру β буде:

Коефіцієнт масовіддачі показує, яка кількість речовини передається від поверхні розподілу фаз у сприймаючу Фазу через один м² поверхні Фазового контакту протягом 1с при різниці концентрацій, рівній одиниці.

Рис. 8.11.1. До виводу диференційного рівняння молекулярної дифузії

Рис.8.11.2. До визначення закону конвективної дифузії.

8.12 Диференційне рівняння масовіддачі (конвективної дифузії)

В основу розгляду явищ конвективної дифузії покладено теорію дифузійного граничного шару. Згідно цієї теорії (рис.8.11.2), речовина, що розподіляється, переноситься з ядра потоку рідини до границі розподілу фаз безпосередньо потоками рідини і молекулярною дифузією. В системі, що розглядається, потік можна вважати таким, який складається з двох частин: ядра і граничного дифузійного шару. В ядрі переніс речовини здійснюється переважно струменями рідини в умовах турбулентності течії; концентрація речовини, що розподіляється, в даному перерізі в умовах стаціонарного режиму зберігається постійною по мірі наближення до граничного дифузійного шару турбулентний переніс затухає, з приближенням до границі починає переважати переніс за рахунок молекулярної дифузії. Відповідно до цього з'являється градієнт концентрації речовини, що розподіляється, що зростає з приближенням до границі.

При наявності конвективної дифузії концентрація речовини, що розподіляється, в елементарному об'ємі фази (див. рис. 8.11.1) змінюється не лише в наслідок молекулярної дифузії, але також і в результаті механічного переносу його із зони однієї концентрації в другу. В цьому випадку концентрація речовини, що розподіляється, буде функцією не лише координат х, у, z і часу т, але складовою швидкості переміщення елемента ω_х, ω_y, ω_z.

При конвективній дифузії елемент переміщується з однієї точки простору в іншу. В цьому випадку зміна концентрації розподіляючої речовини в елементі може бути виражено за допомогою субстанційної похідної, котра враховує зміну величини з часом і зміни, пов'язані з переміщенням елемента з однієї точки простору в другу:

(8.12.1)

В рівнянні (8.12.1) являє собою локальну зміну концентрації речовини, що розподіляється, а – конвективну зміну концентрації.

Якщо в рівнянні молекулярної дифузії (8.10.3) замінити локальну зміну концентрації

повним , згідно (8.12.1),. то в результаті отримаємо диференційне рівняння конвективної дифузії:

(8.12.2)

Це рівняння є математичним описанням процесу переміщення в рідкій (газовій) фази конвективної дифузії.

8.13 Рівняння подібності конвективної дифузії.

Кількість речовини, що розподіляється, яка перемішується з фази в фазу біля границі, можна визначити виходячи з основного закону конвективної дифузії:

dM = β(C₂-C_f )dFdτ

Позначимо (С₂ - С_f ) = ΔС, отримаємо

dM = βΔCdFdτ. (8.13.1)

Цю ж кількість речовини dM можна знайти і іншим методом. Біля поверхні розподілу фаз речовина переміщується в другу фазу внаслідок молекулярної дифузії. Кількість переданої із фази в фазу речовини dM можна знайти виходячи з основного рівняння молекулярної

дифузії: dM = -D· дС/дх ·dFdτ

Величина dM в останньому рівнянні і рівнянні (8.13.1) є однією і тією ж кількістю речовини, вираженою різними способами, отже

(8.13.2)

Рівняння (8.13.2) характеризує умови на границі фаз, що розглядаються. Для отримання безрозмірних дифузійних чисел подібності перетворимо рівняння (8.12.2) і (8.13.2) методами теорії подібності. З рівняння (8.13.2) діленням обох частин рівняння на праву частину рівняння отримаємо безрозмірний комплекс βΔСдх/DдC.

Дата добавления: 2014-01-04