Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Диференційне рівняння теплопровідності


Розглянуті раніше питання пов’язані зі стаціонарним температурним полем. Але на практиці інженеру доводиться займатись розв’язанням проблем, де в об’єктах відбуваються процеси переносу теплоти, коли температурне поле залежить як від координат, так і часу, тобто має місце нестаціонарне температурне поле. У цьому випадку необхідне розв’язання диференційного рівняння теплопровідності. Якраз це рівняння дає залежність між температурою, часом та координатами.

Виконаємо виведення диференційного рівняння теплопровідності.

 

 

Рисунок 1.5. До виведення рівняння теплопровідності

 

Виділимо в однорідному середовищі елементарний об’єм у формі паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz. Через ліву грань об’єму проходить питомий тепловий потік qx, а через праву – qx+dx. Припустимо, що qx>qx+dx. Це означає, що відбувається нагрів об’єкта. Вважаємо, що градієнт питомого теплового потоку дорівнює . Повний приріст питомого теплового потоку на відстані dx становить dx. Відповідно по осям x,y,z через протилежні грані будуть виходити такі питомі теплові потоки:

( 1.36 )

Маємо по осям x, y,z грані паралелепіпеда з такими площами: dydz, dxdz, dxdy. Тоді кількість теплоти, що проходить через ліву грань по осі х за час становить qxdydzd, а через праву – qx+dxdydzd. Оскільки відбувається нагрів елемента, то різниця між кількостями теплоти, що входить в об’єкт і виходить із нього представляє собою теплоту, акумульовану елементарним об’ємом.

( 1.37 )

тобто

По всім осям отримуємо загальний приріст теплоти

( 1.38 )

Ця величина представляє собою всю теплоту, акумульовану за час dелементарним об’ємом dxdydz. Вона може бути представлена як добуток маса Х питома теплоємкість Х приріст температури. Приріст температури за одиницю часу дорівнює , а за час dстановить . Тоді будемо мати

де - густина,

- маса елементарного об’єму;

с – питома теплоємкість,

Після скорочення отримаємо

( 1.39 )

Застосовуючи закон Фур,є для теплопровідності

знаходимо



. ( 1.40 )

Вираз називається оператором Лапласа і позначається . Тоді диференційне рівняння теплопровідності має такий вигляд

( 1.41 )

Якщо фізичні величини не залежать від температури, то комплекс позначається латинською буквою, а і називається коефіцієнтом температуропровідності. Цей коефіцієнт характеризує теплоінерційні властивості речовини. Чим більше значення має цей коефіцієнт, тим швидше розповсюджується теплота усередині об’єкта.

Диференційне рівняння (1.39) має безліч розв’язків . для отримання його однозначного розв,язку необхідно використати додаткові, так звані крайові умови. Існують два види крайових умов:

- початкові, що характеризують розподіл температури в тілі в який-небудь початковий момент часу (наприклад, );

- граничні умови, що показують теплові особливості на поверхні речовини.

Існують чотири способи завдання граничних умов:

- граничні умови 1-го роду: задана відома функція температури від часу для поверхні об’єкта;

- II-го роду: задана функція зміни теплового потоку через поверхню тіла, що знаходиться в процесі теплообміну;

- III-го роду: задано закон теплообміну між поверхнею тіла та навколишнім середовищем;

- IV-го роду: мається контактний теплообмін між поверхнями двох щільно контактуючих об’єктів.

 

ГЛАВА 2

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Стаціонарна теплопровідність одношарової циліндричної стінки | Загальні відомості про конвективний теплообмін

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 2681; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.