Измерение спектральных характеристик

Лекции 12,13

Анализ спектра играет важную роль в теории и практике обработки сигналов. Рассмотрим практический пример применения спектральных представлений в измерительной технике. Пусть требуется оценить качество генерируемого синусоидального сигнала. Если он сильно искажен, то это можно заметить (но не выразить количественно) на экране осциллографа, но малые искажения на экране будут просто незаметны. Если оценивать искажения с помощью коэффициента гармоник, определение которого основано на спектральном представлении, то можно численно оценить даже «малые» искажения.

8.1. Основы теории спектров

Не вдаваясь в тонкости теории спектров, отметим, что сигнал можно представить как функцию времени, а спектральное представление тот же сигнал представляет как функцию частоты – этот переход осуществляется с помощью преобразования Фурье, которое лежит в основе спектрального анализа. Или по-другому: есть сигнал, как некое целое (например, прямоугольные импульсы), а это целое представляется как совокупность «кирпичиков» из которых он собран – эти кирпичики и есть спектральные составляющие, то есть синусоиды (при спектре по Фурье) с разными частотами и фазами. Замечание в скобках «по Фурье» означает, что в общем случае эти кирпичики могут быть и не синусоидами, что в некоторых случаях предпочтительней.

Далее мы будем рассматривать только разложение по синусоидальным функциям. Это связано не с тем, что преобразование Фурье (спектр по Фурье) какими-то особыми замечательными свойствами - просто исторически так сложилось и нормировка параметров аппаратуры и трактов осуществляется на основе спектрального представления, основанного на разложении по синусоидальному базису, т.е. по базису Фурье

Будем предполагать, что сигнал представляет собой периодическую функцию времени. В этом случае можно представить сигнал рядом Фурье, то есть разложить его на синусоидальные составляющие. Если сигнал х(t) имеет период Т, то можно записать

или (8.1)

где,,

,

Смысл этих выражений в том, что периодическая функция х(t) может быть представлена суммой синусоидальных колебаний с частотами, кратными основной частоте с надлежащим образом подобранными амплитудами и начальными фазами. Отдельные слагаемые суммы (8.1) называются гармониками. Колебание основной частоты называется первой гармоникой, колебание - второй и т.д. Постоянная составляющая - среднее значение x(t). Совокупности величин называется спектром амплитуд, а - спектром фаз; часто интересуются только спектром амплитуд, называя его для краткости просто спектром (если речь идёт о фазах, то это специально оговаривается).

Графически спектр представляют в координатах Длины вертикальных отрезков представляют амплитуды соответствующих гармоник – эти отрезки называются спектральными линиями и такой спектр называется линейчатым, как показано на рис.8.1:

w 2w 3w 4w 5w w

Рис.8.1

Теперь введём такого же рода разложение к непериодическим функциям. На рис.8.2 представлен график периодической функции х(t), выражаемый соотношением x(t)=x(t±pT), где р - любое целое число:

X(t)

t

T

Рис.8.2

Второе выражение (*) можно переписать в виде:

, где (8.2)

Будем рассматривать вместо амплитуды произведения Т=s_k. Спектр амплитуд функции x(t) линейчатый, показанный на рисунке 8.3a):

| |

a)

w

| |

б)

w

|S(w)

в)

Рис.8.3

Если увеличивать Т, то при этом интервал между спектральными линиями соответственно уменьшится (8.3б). Если продолжать увеличивать период, то линейчатый спектр становится всё более густым. При переходе к пределу интервал между линиями будет стремится к нулю и огибающая превратится в непрерывную линию (рис 8.3в), то есть в линию, представляющую непрерывную функцию частоты. Но при неограниченном увеличении периода периодическая последовательность вырождается и превращается в один единственный импульс, представляемый сигналом х(t). Таким образом, устремляя Т к бесконечности, мы переходим в пределе от периодической функции к непрерывной. Отметим, что огибающая спектра при периодическом сигнале и непрерывная функция S(w) имеют одинаковую форму, определяемую функцией (сигналом) x(t).

Основными формулами теории спектров являются:

(8.3)

(8.4)

Они представляют собой пару преобразований Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную функцию времени f(t) и комплексную функцию частоты S(𝛚). Смысл формулы (8.3)в том, что функция f(t) представлена суммой синусоидальных составляющих. Но если функция f(t) непериодическая, то она может быть представлена только суммой бесконечно большого числа бесконечно малых колебаний бесконечно близких по частоте. Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала и равна

(8.5)

Частотный интервал между двумя соседними колебаниями также бесконечно мал и равен d𝛚.

Если ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенные дискретные значения, то интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой синусоид с непрерывной последовательностью частот – в составе непериодической функции имеются «все частоты».

Формулу (8.3) можно записать и в вещественной форме; тогда интегрирование будет производится только по положительным частотам. Введя обозначение S(𝛚)=A(𝛚)+jB(𝛚) учитывая, что А –четная, а В – нечетная функция)

Возвращаясь к формуле (8.4), можно сделать вывод, что для нахождения спектра необходимо выполнить интегрирование по времени в бесконечных пределах, что невозможно если функция f(t) есть отображение некоторого реального физического процесса.Но именно это и представляет интерес для интересующих нас технических приложений (например, анализ сигналов). Поэтому реально мы можем выполнить интегрирование не в бесконечных пределах, а лишь до настоящего, текущего момента. Все прошлое в принципе нам может быть известно, так как интегрирование может быть выполнено в пределах от -∞ дл текущего момента времени t. Измененное таким образом определение спектра принимает вид

(8.6)

Величина являющаяся функцией не только частоты, но и времени, носит название текущего спектра.

В действительных условиях наблюдение процесса (или сам процесс) фактически может начинаться в некоторый момент t₀ , находящийся в прошлом на конечном удалении от текущего момента t. В этом случае момент t₀ может быть принят за начало отсчета времени, и текущий спектр можно определить следующим образом:

(8.7)

Понятие текущего спектра отражает всю предшествующую (вплоть до настоящего момента) историю процесса – то есть отражает процесс в целом. Для практики важно представление о спектре в данный момент. Представим себе диалог мужчины и женщины. Естественно, когда говорит мужчина, то спектр располагается в области низких частот, а когда говорит женщина – спектр перемещается в область более высоких частот. Текущий спектр не позволит отдельно исследовать спектры говорящих.

На рисунке 8.4 представлен текущий спектр колебания

F(t)=sinΩt

По горизонтальной оси, лежащей в плоскости чертежа, отложено отношение частот ω/Ω, где ω- текущая частота; по оси ординат спектральная плотность; по горизонтальной оси направленной от читателя, - число полупериодов n. Это число пропорционально времени. Детали на левом склоне опущены, чтобы не осложнять чертеж.

Рис. 8.4

Из рисунка видно, что вначале спектр получается равномерным, лишь постепенно сформировался максимум на частоте Ω. Этот максимум с течением времени становится всё более острым, но лишь в пределе при t→∞ фигура превратиться в дискретную спектральную линию, которая изображает спектр синусоидального колебания.

Для привязки спектра к определенному моменту, вводят понятие мгновенного спектра, который в простейшем виде может быть определен в следующем виде:

(8.8)

Мгновенный спектр определен, как спектр отрезка процесса длительностью Т, непосредственно предшествующего данному моменту t. В этом определении применяется «скользящее» интегрирование: интервал интегрирования имеет постоянную постоянную длину, но перемещается по оси времени; расположение интервала неизменно относительно текущего момента времени t.

Возможно более общее определение мгновенного спектра. Оно состоит в том, что в подынтегральное вводится скользящая (т.е. связанная с текущим временем) весовая функция:

(8.9)

Забегая вперед, отметим, что реальные фильтровые анализаторы спектра вычисляют мгновенный спектр, описываемы формулой (8.9), если в качестве весовой используется функция Фано:

r(t)

t

Рис.8.5

Эта функция учитывает всё прошлое процесса, но с весом, экспоненциально убывающим по мере удаления от настоящего момента.

8.2.Анализ спектров

Далее нас будут интересовать вопросы физического анализа спектра. В отличии от теоретического анализа, где анализируемый процесс задаётся как функция, при физическом анализе спектр процесса (то есть электрического сигнала) получается в результате его воздействия на физический прибор, называемый анализатором спектра. Следовательно, анализатор есть прибор, позволяющий измерить амплитуду и частоту каждого из синусоидальных колебаний, входящего в состав сложного анализируемого сигнала.

Всякий анализатор это измерительный прибор, поэтому его показание содержит погрешность, то есть надо четко представлять, что от метрологических характеристик анализатора зависит насколько полученный спектр «похож» на теоретический.

Для целей анализа может служить любой прибор, поведение которого зависит от частоты воздействия на него – такие приборы называются спектральными. В основе действия спектральных приборов лежит одно из следующих явлений: интерференция, дифракция, дисперсия, резонанс. Первые два используются в технике связи для анализа сигналов в оптических системах передачи, последнее получило наибольшее распространение в радиоэлектронике. Дальше мы будем говорить только об анализаторах, основанных на явлении резонанса.

Способ осуществления анализа может быть

- последовательным;

- параллельным (одновременном);

- комбинированным.

Характеристики фильтров, настроенных на частоты

>, где i – номер фильтра

а) •••••

w

б) Характеристика перестраиваемого фильтра

w

Гребенка из 4-х фильтров, которые перестраиваются

в) вместе по всему диапазону

w

Анализируемый диапазон частот

Рис.8.6

При одновременном анализе весь анализируемый диапазон частот перекрывается набором из m фильтров, каждый из которых настроен на свою частоту (рис.8.6 а); при последовательном существует один фильтр, частота настройки которого меняется и таким образом фильтр последовательно перекрывает весь анализируемый диапазон частот (рис.8.6.б). При комбинированном перестраивается «гребенка» фильтров, которая перекрывает анализируемый диапазон (рис.8.6в).

Соответственно, структурные схемы анализаторов можно представить в виде рис.8.7:

Перестра-иваемый фильтр

б)

•

а) в)

Рис.8.7

В комбинированном фильтре одновременно перестраиваются все фильтры, то есть если гребенка перестроена на частоту D, то каждый фильтр будет перестроен на частоту, где i – номер фильтра в гребенке, k – означает, комбинированный.

Рассмотрим скорость анализа приборов, реализующих различные способы. Так как фильтр устройство инерционное, то для установления в нем колебаний необходимо некоторое время установления t (считаем, что характеристики фильтров одинаковой формы).Время анализа параллельного будет, так как сигнал подан одновременно на все фильтры. При последовательном способе каждый фильтр должен «постоять» время t в каждой позиции. Считая, что перестройка фильтра осуществляется дискретно, то есть фильтр занимает после перестройки соседнюю полосу (как в параллельном соседние фильтры), время анализа будет, где m – число дискретных настроек (так как считаем, что фильтры одинаковой формы, то m равно числу фильтров в параллельном анализаторе). При комбинированном анализе, если в гребенке р фильтров, время анализа будет. Из приведенных соотношений видно, что скорость анализа при одновременном анализе выше в m раз, но это «покупается» тем, что параллельный анализатор является m канальной системой с идентичными каналами, что на практике при широкой полосе анализа трудно (или дорого) получить.

Разрешающая способность – важнейшая метрологическая характеристика анализатора.

Под разрешающей способностью анализатора понимается способность его разрешить (т.е. раздельно наблюдать) две соседние спектральные линии. Количественной мерой разрешающей способности является наименьший интервал по частоте между двумя спектральными линиями, при котором они ещё разделяются.

Различают статическую и динамическую разрешающую способность.

Под статической понимают разрешающую способность, которая получается при бесконечном времени анализа. На практике это недостижимо и статической считают результат, полученный после завершения всех переходных процессов в фильтре. Динамическая разрешающая способность получается при времени анализа меньшим, чем время установления стационарных колебаний в фильтре.

Статическая разрешающая способность полностью определяется амплитудно-частотной характеристикой фильтра. Чем выше добротность фильтра, тем выше разрешение.

Динамическая разрешающая способность всегда хуже статической и в пределе при увеличении времени анализа стремится к статической.

Для уяснения понятия динамической разрешающей способности на рисунке 8.8.

Здесь приводится картина развития показания анализатора с течением времени. На анализатор в момент t=0 два синусоидальных колебания. Как видно из рисунка, сначала анализатор не разделяет этих колебаний. Лишь по прошествии некоторого времени начинает формироваться седловина, постепенно углубляющаяся. В пределе получается установившееся показание анализатора, которое имеет вид двугорбой кривой. Эта кривая характеризует статическую разрешающую способность

Рис. 8.8

По оси Х отложено m =, где в числителе стоит текущая частота, а в знаменателе частоты колебаний.

Отметим, что чем выше добротность, тем больше время установления колебаний в фильтре.

Наибольшее распространение получили анализаторы спектра последовательного действия с индикатором на электронно-лучевой трубке. Принцип работы и упрощенную структуру такого анализатора мы и рассмотрим (рис.8.9).

  Смеситель

Входное устройство

Усилитель промежуточной частоты с фильтром промежуточной частоты

Детектор  

Электронно-лучевая трубка

Генератор развертки

Блок управления

Генератор качающейся частоты

Калибратор

Усилитель канала Y

F

Характеристика фильтра

промежуточной частоты

Рис.8.9

На экране ЭЛТ спектр должен изображаться в координатах напряжение (по вертикали) и частота (по оси Х). Для получения таких координат используется генератор (генератор качающейся частоты- ГКЧ), частота которого изменяется под влиянием напряжения развертки, то есть под действием напряжения развертки перемещается луч по оси Х и синхронно изменяется частота, поступающая на смеситель. Модуляционная характеристика генератора должна быть:

u

F

Рис.8.10

Где F – частота на выходе генератора;

U – управляющее напряжение на входе, роль которого выполняет пилообразное напряжение развертки.

Напряжение развертки изменяется в определенных пределах: от минимального напряжения (луч у левого обреза экрана) до максимального (луч у правого обреза) и можно изменять только длительность развертки. В то же время диапазон анализируемых частот и средняя частота этого диапазона должны быть разными, а значит должны меняться параметры управляющего напряжения. Блок управления трансформирует напряжение развертки в соответствующее управляющее напряжение (как это требуется оператору, который устанавливает диапазон анализа, изменяя настройку блока управления) как показано на рисунке 8.11.

Cредняя частота  

Средняя частота  

●

●

F

----------------------------------------------------------------------------

---------------------------

U

Рис.8.11.

Здесь показаны два случая:

1. Диапазон частот и средняя частота

1. Диапазон частот и средняя частота

И в первом и во втором случае время изменения частоты в диапазонах одно и то же и равно длительности развертки

Напряжение с выхода генератора качающейся частоты поступает на вход смесителя.

На выходе смесителя получается сложный спектр из комбинационных частот и гармоник, но на выходе усилителя промежуточной частоты, который является полосовым усилителем, полоса которого DF, а центральная частота. На выход усилителя пройдут частоты вида:, где частоты: -сигнала, -ГКЧ, -промежуточная.

Для точной привязки оси частот экрана (горизонтальной оси)к номиналам частоты, необходимо знать частоты, соответствующие определенным точкам – для этого используются специальные метки. Эти метки образуются в блоке частотных меток, который состоит из генератора опорной частоты, стабилизированной кварцем, и гармоник этой частоты 234 и т.д., как показано на рисунке 8.12.

u

F

Рис.8.12.

Сигналы с выхода опорного генератора подаются на смеситель, на второй вход которого поступает «качающаяся частота». В моменты, когда частота ГКЧ будет равна какой либо частоте опорного генератора, и если полоса ФПЧ,, то на выходе ФПЧ будет образовываться всплеск напряжения, который детектируется и на экране появляются вертикальные черточки. Условием этого является:

где k - номер гармоники опорной частоты (k=0, 1, 2 ….).

Работу анализатора поясним рисунком 8.13.

На рисунке изображены: слева спектры шести сигналов (спектры – треугольной формы), которые повторяются с периодом сигнала (для упрощения показан сплошной спектр, но так как сигналы периодические, спектр должен быть линейчатым с расстоянием между линейками равным). Правее изображено изменение частоты генератора качающейся частоты, которое проходит весь диапазон изменения частоты (полосу качания) за время за время, равное шести периодам сигнала. Через усилитель промежуточной частоты на детектор будет проходить колебание с частотой, это колебание будет детектироваться и на экране будет возникать «полоска» амплитуда которой равна амплитуде соответствующей составляющей в спектре сигнала, а ширина пропорциональна полосе пропускания фильтра промежуточной частоты. Из-за изменения частоты ГКЧ разность частот у каждого из приходящих сигналов будет с разной составляющей спектра – чем больше становится частота генератора качающейся частоты, тем с более высокой частотой спектра сигнала будет разность равная. На экране «полоска» 1 будет получаться из первого сигнала, вторая – из второго и т.д. Огибающая этих полос на экране (нарисована пунктиром) будет повторять огибающую спектра сигнала. Число полос будет равно, то есть количеству сигналов, пришедших за время длительности развертки.

  1 2 3 4 5 6

S(f)

1)

f

S(f)

2)

f

S(f)

3)

Картинка на экране анализатора

f спектра

S(f)

4)

f

S(f) Среднее значение частоты

генератора качающейся частоты

5)

f

S(f) Полоса качания частоты

генератора качающейся частоты

6)

f

t

Рис.8.13

Если увеличить диапазон качания генератора качающейся частоты (не меняя среднюю частоту качания), то будет анализироваться больший диапазон частот и спектр того же сигнала «сожмется» на экране. Если при том же диапазоне качания изменить среднюю частоту ГКЧ, то картинка спектра сдвинется влево (если увеличить) или вправо (если уменьшить) по экрану.

Дата добавления: 2014-01-04