Понятие производной. Механический и геометрический смысл производной

Функции одной переменной.

Дифференциальное исчисление

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрица­тельное), такое, что , то приращение функции опре­деляется выражением .

Определение. Производной функции в произ­вольной фиксированной точке называется предел (если он суще­ствует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Наиболее употребительные обозначения производной функции

в точке : , , , . Таким образом,

Производная функции в произвольной точке обозна­чается так: , , , , .

Операция нахождения производной функции называется диф­ференцированием.

При каждом конкретном числовом значении производная (если она существует при данном ) функции представляет собой определенное число. Значениям переменной ставятся в соответ­ствие определенные значения переменной . Следовательно, про­изводная является функцией аргумента . Можно сказать, что функ­ция «порождает» (или «производит») функцию (отсюда и название «производная»).

Если для некоторого значения

+¥ (или –¥),

то говорят, что для этого значения существует бесконечная про­изводная.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать существование конечной производной, если не ого­ворено противное.

Определение. Если функция определена в левосторон­ней (правосторонней) окрестности точки и существует конечный или бесконечный предел для этой функции:

,

то он называется соответственно конечной или бесконечной произ­водной слева (справа) функции в точке и обозначается

.

Левую и правую производные называют односторонними произ­водными. Из свойств пределов следует, что если функция , опреде­ленная в некоторой окрестности точки , имеет конечную произ­водную , то существуют производные слева и справа, причем

==

Пример. Найти по определению производную функции .

Решение. Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда:

Дата добавления: 2014-01-04