Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Точки перегиба функции


Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

Определение.График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (или вогнутым) на , если дуга кривой длярасположена выше любой касатель­ной, проведенной к графику этой функции.

Определение.График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх (или выпуклым) на , если дуга кривой длярасположена ниже любой касатель­ной, проведенной к графику этой функции.

Определение.Точка графика дифференцируе­мой функции , в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак вогнутости (выпуклости)).Если функция на дважды дифферен­цируема и >0 , то график этой функции на вогнутый (выпуклый вниз). Если функция на дважды дифференцируема и < 0 , то график этой функции на выпуклый.

 

Теорема.Если для функции вто­рая производная в некоторой точке обращается в нуль или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то точка является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть =0 или не существует. Если < 0 в и >0 в , то точка кривой с абсциссой отделяет интервал выпуклости от интер­вала вогнутости. Если > 0 в и < 0 в , то эта точка от­деляет интервал вогнутости от интервала выпуклости кривой. В обоих случаях точка является точкой перегиба графика функции.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функ­ции .

Решение. Данная функция определена, непре­рывна и дифференцируема на R, причем

,

,

 

=0 при ,

<0 при ,

>0 при .

 

Следовательно, функция выпукла на интервале ]–¥; 2[, вогнута на интервале]2:+¥[, при , точка является точкой перегиба графика функции .

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Теорема (третий достаточный признак существования экстремума функции) | Асимптоты графика функции

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 299; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.