Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство. Необходимость. Предположим, что — наклонная асимптота графика функции


Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Необходимость. Предположим, что — наклонная асимптота графика функции . Тогда справедливо представ­ление

, где при +¥.

Следовательно, .

Достаточность. Пусть существуют данные пределы, тогда второе равенство означает, что при представимо в виде:

, где при +¥,

то есть прямая является наклонной асимптотой графика функции .

 

Итак, теорема доказана для случая +¥. Доказательство теоре­мы для случая –¥ производится аналогично.

 

Замечание. При нахождении наклонных асимптот графика функции воз­можны следующие случаи: 1) оба предела существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая называется двусторонней асимптотой; 2) оба предела существуют, но при +¥ и –¥ они различны, тогда имеем две односто­ронние наклонные асимптоты; 3) если хотя бы один из пределов не существует, то наклонных асимптот нет.

Пример.Найти асимптоты линии .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на , за исключением точки .

-¥, +¥.

Следовательно, является вертикальной асимптотой.

Для нахождения невертикальных асимптот вычисляем пределы

,

.

Получаем, что график функции имеет горизонтальную асимптоту

Пример.Найти асимптоты графика функции .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на , следовательно, вертикальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот находим пределы:

и .

 

,

.

Следовательно, у графика данной функции две односто­ронние горизонтальные асимптоты при –¥ и при –¥.

Пример.Найти асимптоты кривой .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на , следовательно, вертикальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот находим пределы:

и .

 

+¥.

 

Предел бесконечен, следова­тельно, кривая асимптот не имеет.

Общая схема исследования функции

 

Исследование дважды дифференцируемой функции на (за исключением, быть может, конечного множества точек) и построение ее графика можно выполнять по приводимой ниже схеме.



 

1. Установить область определения функции.

 

2. Если она симметрична относительно начала координат, проверить функцию на четность и нечетность.

 

3. Проверить функцию на периодичность.

 

4. Исследовать непрерывность функции. Определить поведение функции в окрестностях точек разрыва первого рода и граничных точек области определения. Для этого вычислить односторонние пределы функции при стремлении аргумента функции к указанным точкам.

 

5. Найди, если они существуют, асимптоты графика функций.

 

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции.

 

7. Найди интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.

 

8. Определить, если это возможно, координаты точек пересечения графика функции с осями координат, а также нескольких дополнительных точек, принадлежащих графику.

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Асимптоты графика функции | Решение. 1. Область определения (–¥; 1) Ç(1; +¥)

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1143; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.