Интегрирование некоторых иррациональных функций

.

Подынтегральная функция рациональна относительно . Заметим, что с помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида .

Пример. Найти .

Решение. Применим универсальную подстановку :

.

Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида , однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рацио­нальных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.

В частности, при вычислении интегралов вида можно вос­пользоваться следующими рекомендациями:

1. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то применяется подста­новка =.

2. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то используют подстановку = .

3. Если подынтегральная функция четна относительно и , т. е. , то применяется подстановка .

Пример. Найти .

Решение. Подынтегральная функция четна относительно и . Применяем подстановку :

Интегралы вида (, , r0, r0). Если хотя бы одно из чисел или — нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через вторую функцию, прихо­дим к табличному интегралу.

Пример. Найти .

Решение.

Если же и — четные числа, то степени понижаются по­средством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометри­ческих формул.

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную, выраженную через конечное число элементарных функций. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интегралы вида ( —целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рацио­нальна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой , где — общий знаменатель дробей При такой замене переменной все дроби являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной .

Пример. Найти .

Решение. Так как общий знаменатель дробей 1/2 и 1/3 равен 6, сделаем замену . Тогда

Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка (или используется свойство №5 неопределенного интеграла ). В результате этот интеграл сводится к табличному.

Пример. Найти .

Дата добавления: 2014-01-04