Определение

- струей гладкой функции в точке х₀ (обозначение ) назовем усеченный ряд Тейлора данной функции в окрестности точки х₀, то есть:

. (4.16)

Если ввести замену переменных у = х–х₀ и перейти от функции f(x) к функции , то есть:

,

то получим:

. (4.17)

Поэтому без снижения общности точку х₀ можно принять за начало координат и в дальнейшем считать, если нет особой оговорки, что х₀ = 0, а формулу (4.17) запишем в следующем виде (индекс “0” у опущен):

. (4.18)

Обозначение для -струи взято по первой букве английского слова «jet» – «струя».

Усеченный ряд Тейлора (4.18) представляет собой многочлен, задающий полиномиальные функции независимо от того, сходится или нет ряд Тейлора.

Уместно напомнить некоторые определения.

Определение 1. Степенью одночлена называется сумма степеней всех переменных, входящих в данный одночлен.

Например: – многочлен 26-й степени.

Определение 2. Степенью многочлена (полинома) р(х) называется наивысшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Определение 3. Порядком многочлена (полинома) р(х) называется наименьшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Определение 4. Функция имеет в начале координат (то есть в точке ) порядок , если:

. (4.19)

Если многочлен степени , то многочлен имеет порядок . Другими словами, -е производные в нуле для и f(x) совпадают для .

Благодаря этому ряд Тейлора и его усечение в виде -струи оказывается удобным формальным средством для получения информации о производных функции и, значит, о ее форме вблизи начала координат, то есть при х₀ = 0.

Дата добавления: 2014-01-04