Приближенные числа и оценка их погрешностей

Источники погрешностей

На рассмотренных выше этапах математического моделирования имеют место следующие источники погрешностей:

1) погрешность математической модели;

2) погрешность исходных данных (неустранимая погрешность):

3) погрешность численного метода;

4) вычислительная погрешность.

Погрешность математической модели возникает из-за стремления обеспечить сравнительную простоту ее технической реализации и доступности исследования. Нужно иметь в виду, что конкретная математическая модель (ММ), прекрасно работающая в одних условиях, может быть совершенно неприменима в других. С точки зрения потребителя, важным является правильная оценка области ее (ММ) применения.

Погрешность численного метода (погрешность аппроксимации), связана, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислении функций, с интерполированием табличных значений функциональных зависимостей и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема и может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра.

Вычислительная погрешность возникает из-за округления чисел, промежуточных и окончательных результатов счета. Она зависит от правил и необходимости округления, а также от алгоритмов численного решения.

Вспомним технологию округления чисел.

1. Если старший отбрасываемый разряд меньше 5, то предшествующая ему цифра в числе не меняется.

2. Если старший отбрасываемый разряд больше 5, то предшествующая цифра в числе увеличивается на 1.

3. Если старший отбрасываемый разряд равен 5, то по общепринятому соглашению предшествующая ему четная цифра в числе не меняется (например, с = 3,965; с *» 3,96), а нечетная – увеличивается на единицу (например, с = 3,915; с *» 3,92).

4. При округлении целого числа отброшенные знаки не следует заменять нулями, надо применять умножение на соответствующие степени 10.

В основе процессов округления лежит идея минимальности разности значения с и его округления с *.

Пример 1. Округлить число с на соответствующее количество знаков:

1) с = 1,9396712; 2) с = 245,351365;

с *= 1,939671; с *= 245,35136;

с *= 1,93967; с *= 245,3514;

с *= 1,9397; с *= 245,351;

с *= 1,940; с *= 245,35;

с *= 1,94; с *= 245,4;

с *= 1,9; с *= 245;

с *= 2; с *= 2,4×10²;

с *= 2×10²;

Пример 2. Для обоснования необходимости применения округлений в целях экономии памяти приведем следующий пример. Задано выражение

S = 25,71×1,42 – 3,21×7,46 + 0,93×7,75 – 4,31×2,69.

1. Вычислить S точно:

S = 36,5082 – 23,9466 + 7,2075 – 11,5939 = 8,1752.

2. Вычислить S и округлить его до двух знаков после запятой:

S₁* = 8,18.

3. Вычислить каждое произведение с двумя знаками после запятой и просуммировать:

S₂* = 36,51 – 23,95 + 7,21 – 11,59 = 8,18.

При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел – точными и приближенными. К точным числам относятся числа, которые дают истинное значение исследуемой величины. К приближенным относятся числа, близкие к истинному значению, причем степень близости и определяется погрешностью вычислений.

Результатами вычислений являются, как правило, только приближенные числа. Поэтому для указания области неопределенности результата вводятся некоторые специальные понятия, широко используемые при подготовке исходных данных или (и) оценке погрешности численных решений.

Если х – точное, вообще говоря, неизвестное значение некоторой величины, а а – его приближение, то разность х – а называется ошибкой, или погрешностью приближения. Часто знак ошибки х – а неизвестен, поэтому используется так называемая абсолютная погрешность D(Х) приближенного числа а, определяемая равенством

D(Х) = | х – а |, (1)

откуда имеем

х = а ± D(Х). (2)

Изучаемая числовая величина х именованная, т.е. определяется в соответствующих единицах измерения, например, в сантиметрах, килограммах и т.п. Погрешность (1) имеет ту же размерность.

Однако часто возникает необходимость заменить эту погрешность безразмерной величиной – относительной погрешностью. При этом из-за незнания точного значения изучаемой величины принято называть относительной погрешностью величину

. (3)

Относительную погрешность часто выражают в процентах: ×100%. Это погрешность на единицу измеряемой физической величины. Она сопоставима в идентичных экспериментах, т.е. характеризует качество измерения. А именно, точность результата лучше характеризуется его d(Х), так как абсолютная погрешность D(Х) не достаточна, к примеру, для характеристики качества измерения двух стержней l ₁ = 100,8 см ± 0,1 см и l ₂ = 5,2 см ± 0,1 см. Очевидно, что качество измерения первого значительно выше.

В связи с тем, что точное значение х, как правило, неизвестно, то формулы (1)–(3) носят сугубо теоретический характер.

Для практических целей вводится понятие предельной погрешности. Предельная абсолютная погрешность D а – это верхняя оценка модуля абсолютной погрешности числа х, т.е.

| D х | £ D a.

При произвольном выборе, D а всегда стремятся каким-либо образом взять наименьшим.

Истинное значение числа х будет находиться в интервале с границами (а – D а) – с недостатком и (а + D а) – с избытком, т.е.

(а – D а) £ х £ (а + D а).

Условились для приближенных чисел по результатам округлений в качестве D а принимать единицу или 1/2 единицы оставленного разряда числа. Первое условие называют погрешностью в «широком» смысле, второе в «узком» смысле.

Пример для второго условия:

а	51,7	–0,0031		16,00
D а	0,05	0,00005	0,5	0,005

Предельная относительная погрешность также может выражаться в процентах. При локальных ручных расчетах, и на этапе подготовки исходных данных существуют определенные правила оценки предельных погрешностей для арифметических операций (формулы – (4)):

; ;

; ;

D(а ± D b) = D а + D b;

D(а× b) = a× b [ d(а) + d(b)] = b D а + a D b;

;

;

где D – предельная абсолютная погрешность;

d – относительная предельная погрешность;

m – рациональное число.

Следует отметить, что приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи этих чисел все «значащие» цифры «верны». Определение этих понятий рассмотрим ниже.

Дата добавления: 2014-01-04