Метод Ньютона для систем двух уравнений

Пусть дана система

Согласно методу Ньютона последовательные приближения типа (5) вычисляются по формулам

; ,

где

; ; n = 0,1,2,...

и, если Якобиан

¹ 0

решение будет единственным.

Начальные значения x ₀ и y₀ определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.

Пример. Найти корни системы

Графическим путем можно найти приближенно x ₀ = 1,2 и y₀ = 1,7.

.

В начальной точке

= 97,910.

По формулам получаем

= 1,2 + 0,0349 = 1,2349;

= 1,7 – 0,0390 = 1,6610.

Продолжая процесс вычисления при x ₁ и y₁, получим x ₂ = 1,2343; y₂ = 1,6615 и т.д. до достижения желаемой точности.

4.4. Метод Ньютона для систем n -го порядка с n неизвестными

Для метода Ньютона функции F_i = (x ₁, x ₂,..., x_n) из (1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго и выше порядков.

Пусть известен результат предварительной итерации при решении (1) дает результат для = (a ₁, a ₂,..., a_n).

Задача сводится к нахождению поправок этого решения: D x ₁, D x ₂,..., D x_n.

Тогда при очередной итерации решение будет:

x ₁ = a ₁ + D x ₁; x ₂ = a ₂ + D x ₂; …, x_n = a_n + D x_n. (8)

Для нахождения D x_i разложим F_i (x ₁, x ₂,..., x_n) в ряд Тейлора:

(9)

Приравняем правые части согласно (1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно D x_i:

(10)

Значения F ₁, F ₂, …, F_n и их производных вычисляются при x ₁= a ₁, x ₂= a ₂,..., x_n = a_n. Расчет ведется с учетом (8) по (9) и (10). Процесс прекращается, когда max|D x_i | < e. При этом будет иметь место единственное решение системы, если Якобиан

.

По сходимости этот метод выше метода простой итерации.

Раздел 5. Аппроксимация функций

Дата добавления: 2014-01-04