Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интерполяционный многочлен Ньютона


Полином Лагранжа на системе равноотстоящих интерполяционных узлов

Величина h = xi+1 xi = const. Тогда произвольный узел xi = x0+i×h, . Введем переменную t = (xx0)/ h. Тогда

xxi = x0 + thx0 ih = (ti)h . (15)

Подставив разности (15) в равенство (11) получим:

.

Далее, так как

xj xi = (x0 + jh) – (x0 + ih) = (ji)h,

то с учетом (15) формула Лагранжа примет вид:

, (16)

где t = (xx0)/h.

Его погрешность .

 

Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде:

N(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+…+an(xx0)(xx1)…(xxn–1). (17)

Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов ai. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностейдля системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов.

Пусть заданны равноотстоящие узлы xk = x0 + kh, h = xi+1 xi = const > 0. Значения f(x) в них обозначим f(xk) = fk = yk, k =

Конечными разностями первого порядка принято называть величины

D f(xi) = Dfi = fi+1fi ; i = .

Конечные разности второго порядка определяются равенствами

i = .

Конечные разности (k+1)-го порядка определяются через разности k-го порядка

i = ; k = . (18)

Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме:

Таблица 1

i fi Dfi D2fi D3fi
f0        
  Df0      
f1   D2f0    
  Df1   D3f0  
f2   D2f1    
  Df2   D3f1  
f3   D2f2    
  Df3      
f4        
       

 



Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка Dkfi будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i-го узла рабочая формула имеет вид:

Dkfi =; i = ; k = 1,2, ... (19)

Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины

f(x0, x1)= f(x1, x2)=; ...

Здесь xi – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине.

По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка:

f(x0, x1, x2) =; f(x1, x2, x3) =; …


Разделенные разности порядка (k+1), k = 1,2, ... определяются при помощи разделенных разностей предыдущего порядка k по формуле:

f(x0, x1, …,xk+1) =. (20)

Разностные отношения вычисляются по следующей схеме:

Таблица 2

i xi fi f(xi,xi+1) f(xi,xi+1,xi+2)
x0 f0      
  f(x0,x1)    
x1 f1   f(x0,x1,x2)  
  f(x1,x2)    
x2 f2   f(x1,x2,x3)  
  f(x2,x3)    
x3 f3   f(x2,x3,x4)  
...

 

Для равноотстоящих узлов xk = x0 + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями

f(x0, x1, …, xk) = k = 0,1,2, ... (21)

Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов | Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 376; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.027 сек.