Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интерполяционный многочлен Ньютона

Полином Лагранжа на системе равноотстоящих интерполяционных узлов

Величина h = xi +1 xi = const. Тогда произвольный узел xi = x 0+ i × h, . Введем переменную t = (xx 0)/ h. Тогда

xxi = x 0 + thx 0 ih = (ti) h. (15)

Подставив разности (15) в равенство (11) получим:

.

Далее, так как

xjxi = (x 0 + jh) – (x 0 + ih) = (ji) h,

то с учетом (15) формула Лагранжа примет вид:

, (16)

где t = (xx 0)/ h.

Его погрешность .

 

Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде:

N (x)= a 0+ a 1(xx 0)+ a 2(xx 0)(xx 1)+…+ an (xx 0)(xx 1)…(xxn –1). (17)

Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов ai. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностей для системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов.

Пусть заданны равноотстоящие узлы xk = x 0 + kh, h = xi +1 xi = const > 0. Значения f (x) в них обозначим f (xk) = fk = yk, k =

Конечными разностями первого порядка принято называть величины

D f (xi) = D fi = fi +1fi; i = .

Конечные разности второго порядка определяются равенствами

i = .

Конечные разности (k +1)-го порядка определяются через разности k -го порядка

i = ; k = . (18)

Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме:

Таблица 1

i fi D fi D2 fi D3 fi
  f 0        
    D f 0      
  f 1   D2 f 0    
    D f 1   D3 f 0  
  f 2   D2 f 1    
    D f 2   D3 f 1  
  f 3   D2 f 2    
    D f 3      
  f 4        
       

 

Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка D kfi будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i -го узла рабочая формула имеет вид:

D kfi =; i = ; k = 1,2,... (19)

Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины

f (x 0, x 1)= f (x 1, x 2)=;...

Здесь xi – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине.

По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка:

f (x 0, x 1, x 2) =; f (x 1, x 2, x 3) =; …


Разделенные разности порядка (k +1), k = 1,2,... определяются при помощи разделенных разностей предыдущего порядка k по формуле:

f (x 0, x 1, …, xk +1) =. (20)

Разностные отношения вычисляются по следующей схеме:

Таблица 2

i xi fi f (xi, xi +1) f (xi, xi +1, xi +2)
  x 0 f 0      
      f (x 0, x 1)    
  x 1 f 1   f (x 0, x 1, x 2)  
      f (x 1, x 2)    
  x 2 f 2   f (x 1, x 2, x 3)  
      f (x 2, x 3)    
  x 3 f 3   f (x 2, x 3, x 4)  
...

 

Для равноотстоящих узлов xk = x 0 + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями

f (x 0, x 1, …, xk) = k = 0,1,2,... (21)

Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Формула Лагранжа для произвольной системы интерполяционных узлов | Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 474; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.