Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов


В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования хТ по отношению к узлам интерполирования.

Пусть функция f(x) задана таблицей значений fk = f(xk) = yk в узлах xk=x0+kh (k = ), h = xk+1 xk = const.

На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула

, k = ; при условии, что D0 = 1; 0! = 1. (22)

Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы

(23)

При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).

Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t = (xx0)/h. Тогда имеем:

x = x0 + kh; ;

, …, ;

и (23) примет вид

N(x0 + th) = y0 + t. (24)

Выражение (24) может аппроксимировать y = f(x) на всем отрезке [x0, xn]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаем t < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервала x0 £ x £ x1. Для других значений аргумента, например, для x1 £ x £ x2, вместо x0 лучше взять значение x1. Тогда (24) можно записать в виде

N(xi+th) = yi+ ; i = 0,1,… (25)

Выражение (25) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется тем, что разности Dkyi вычисляются через значение функции yi, yi+1, ..., yi+k, причем i + k £ n. Поэтому при больших значениях i нельзя вычислить значения разностей высших порядков (k £ n i). Например, при i = n – 3 в (25) можно учесть только Dy, D2y, D3y.

Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случае t = (x xn) / h, т.е. t < 0 и (25) можно получить в виде

N(xn + th) = yn + . (26)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя.



Погрешность метода Ньютона:

,

при t =, x – принадлежит отрезку.

Рассмотрим пример. Вычислить значение функции y = f(x), заданной таблицей в точках x = 0,1 и x = 0,9. Строим таблицу 1 для конечных разностей

 

x y = f(x) Dу D2у D3у D4у D5у
1,2715          
    1,1937        
0,2 2,4652   –0,0146      
    1,1791   0,0007    
0,4 3,6443   –0,0139   –0,0001  
    1,1652   0,0006   0,0000
0,6 4,8095   –0,0133   –0,0001  
    1,1919   0,0005    
0,8 5,9614   –0,0128      
    1,1391        
7,1005          

 

Используя для расчета верхние значения конечных разностей, получим при x = 0,1 значение t = (x x0)/h = (0,1 – 0) / 0,2 = 0,5. По формуле (24) получим

f(0,1) N(0,1) = 1,2715 + 0,5 ´

´ 1,1937+

+ .

По формуле линейной интерполяции f(0,1) » 1,8684; D = {0,0018}.

Значение функции в точке x = 0,9 вычислим по формуле (26). В данном случае t = (x xn) / h = (0,9 – 1) / 0,2 = –0,5. Используя нижние значения конечных разностей, получим

f(0,9) » N(0,9) = 7,1005 – 0,5 × 1,1391 –

.

Если считать по (24) f(0,9) = 6,532522641.

Линейная интерполяция f(0,9) = 6,53095; D = {0,00155}.

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интерполяционный многочлен Ньютона | Замечания. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы произвольно расположенных узлов

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 581; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.