Замечания. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы произвольно расположенных узлов

Интерполяционный многочлен Ньютона для системы произвольно расположенных узлов

Данный многочлен строится с помощью аппарата разделенных разностей (табл. 2) в виде (17) на основании имеющего места соотношения (21)

N_n (x) = f (x ₀) + (x – x ₀) f (x ₀, x ₁) + (x – x ₀)(x – x ₁) f (x ₀, x ₁, x ₂) +…+

+ (x – x ₀)(x – x ₁)…(x – x_{n –1}) f (x ₀, x ₁,…, x_n) (27)

Здесь, как и раньше, N_n (x_k) = f (x_k), (k = 0, 1, 2,…, n).

Остаточный член

R_n (x) = f (x) – N_n (x) = f (x, x ₀, x ₁,…, x_n) (x – x ₀)(x – x ₁)… (x – x_n).

При n = 1 – это линейная интерполяция, при n = 2 – квадратичная.

1. Разные способы построения многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные рабочие формулы при заданной таблице f (x). Это следует из единственности интерполяционного многочлена заданной степени на упорядоченной системе узлов.

2. Повышение точности интерполирования предположительно проводить за счет увеличения числа узлов n и соответственно степени полинома P_n (x). Однако при таком подходе увеличивается погрешность из-за роста | f ^{( n )}(x) | и, кроме того, увеличивается вычислительная погрешность.

Эти соображения приводят к другому способу приближения функций с помощью сплайнов (будет рассмотрено дальше).

3. Повышение точности интерполирования осуществляется и посредством специального расположения узлов интерполяции на рассматриваемом отрезке [ a, b ] области определения функции f (x). Известно, что если сконцентрировать узлы x_i вблизи одного конца отрезка [ a, b ], то погрешность R_n (x) при длине отрезка l = b – a > 1 будет велика в точках x_i близких к другому концу. Поэтому всегда возникает задача о наиболее рациональном выборе x_i (при заданном числе узлов n).

Эта задача была решена Чебышевым, т.е. оптимальный выбор узлов нужно производить по формуле:

x_i = ,

где (i = 0,1,2,..., n) – есть нули полинома Чебышева T_{n +1}(x).

Пример. Найти значение y = f (x) при x = 0,4 заданной таблично:

i
xi		0,1	0,3	0,5
yi	–0,5		0,2

Дата добавления: 2014-01-04