КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод Эйлера с последующей итерационной обработкойМетод Эйлера можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку каждого полученного значения yi. А именно, сначала исходя из первого грубого приближения по (16) , строят итерационный процесс согласно (15) по следующей схеме . (18) Итерации продолжают до тех пор, пока в двух последовательных приближениях , не совпадут соответствующие десятичные знаки и полагают yi +1» . Как правило, при достаточно малом шаге h, итерации сходятся быстро. Если после трех-четырех итераций не произошло совпадение нужного числа десятичных знаков, то шаг расчетов h уменьшается. После такой обработки значения yi переходят к следующему узлу xi +1. Пример. По методу Эйлера составить таблицу решения на отрезке [0;1] для уравнения с начальным условием y (0) = 1, выбрав шаг h = 0,2. Результаты вычислений поместим в таблицу, которая заполняется следующим образом:
В первой строке при i = 0 записывается x 0 = 0, y 0 = 1,000 и по ним вычисляется f (x 0, y 0) = 1, а затем D y 0 = hf (x 0, y 0) = 0,2. Тогда по формуле (14) получаем y 1 = 1 + 0,2 = 1,2. Значения x 1 = 0,2 и y1 = 1,2000 записываются во второй строке при i = 1. Используя их можно вычислить f (x 1, y 1) = 0,8667; D y 1 = hf (x 1, y 1) = 0,2×0,8667 = 0,1733. Тогда y 2 = y 1 + D y 1 = 1,2 + 0,1733 = 1,3733. При i = 2,3,4,5 вычисления ведутся аналогично. В последнем столбце таблицы для сравнения помещены значения точного решения. Из таблицы видно, что абсолютная погрешность для y 5 составляет , что составляет 5%. Замечание. Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на ДУ высших порядков при их предварительном приведении к системам ДУ первого порядка. Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка (19) с начальными условиями y (x 0) = y 0 и z (x 0) = z 0. Тогда приближенные значения y (xi)» yi и z (xi)» zi вычисляются по формулам (20) Пример. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [1;1,5] таблицу значений решения уравнения (21) с начальными условиями y (1) = 0,77 и y' (1) = –0,44, выбрав шаг h = 0,1. Решение. Заменим уравнение (21) посредством подстановки y' = z, y" = z' системой уравнений первого порядка с начальными условиями y (1) = 0,77 и z (1) = –0,44. Таким образом, имеем Результаты вычисления по формулам (20) записаны в таблице
Таблица заполняется следующим образом. Записываем в первой строке i = 0, x 0=1,0; y 0 = 0,77; z 0 = –0,44. Далее находим Используя формулы (20) получаем Таким образом, во второй строке таблицы мы можем записать i = 1; x 1 = 1,1; y 1 = 0,726; z 1 = –0,473. По этим значениям находим И, следовательно, Заполнение таблицы при i =2, 3, 4, 5 производятся аналогично.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 707; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |