Многошаговые методы решения задачи Коши

В данном случае построение разностных расчетных схем (11) основано на том, что для определения y_{i +1} используются результаты не одного, а k предыдущих шагов y_{i–k +1}, y_{i–k +2},..., y_i в данном случае это k шаговый метод.

Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Исходное уравнение (4) для задачи Коши запишем в виде dY (x) = f (x, y) dx. Проинтегрируем обе части этого соотношения на отрезке [ x_i, x_{i +1}].

Из левой части получаем

, (23)

где y_{i +1}, y_i – сеточные значения искомой функции. Для вычисления интегралов правой части сначала построим интерполяционный многочлен P_{k –1}(x) степени (k – 1) для функции f (x, Y) на этом отрезке по значениям f (x_{i–k +1}, Y_{i–k +1}), f (x_{i–k +2}, Y_{i–k +2}),..., f (x_i, Y_i). Тогда

. (24)

Приравнивая (23) и (24) получает формулу для определения неизвестного значения сеточной функции y_{i +1} в узле х_{i +1}

. (25)

На основе (25) можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности при этом зависит от степени P_{k –1}(x), для построения которого используются значения сеточной функции y_i, y_{i –1},..., y_{i - k +1}, вычисленные на k предыдущих узлах.

На практике широко используются следующие многошаговые методы.

Дата добавления: 2014-01-04