Семейство методов Адамса

Известны методы Адамса k -го порядка. Простейший из них при k = 1 повторяет метод Эйлера первого порядка в точности. Метод четвертого порядка на практике принято называть методом Адамса. Рабочую формулу для него получают следующим образом.

Пусть известные в четырех последовательных узлах (k = 4) значение сеточной функции y_{i– 3}, y_{i– 2}, y_{i– 1}, y_i и вычисленные первоначально значения правой части (4) f_{i– 3}, f_{i– 2}, f_{i– 1}, f_i. В качестве интерполяционного многочлена P ₃(x) возьмем многочлен Ньютона. В случае h = const конечные разности для правой части в узле x_i будут иметь вид

D f_i = f_i – f_{i– 1};

D² f_i = f_i – 2 f_{i– 1} + f_{i– 2};

D³ f_i = f_i – 3 f_{i– 1} + 3 f_{i– 2} – f_{i– 3}.

Тогда разностная схема метода Адамса запишется в виде

. (26)

По сравнению с методом Рунге-Кутта той же точности можно отметить его экономичность, так как (26) предусматривает на каждом шаге только один раз вычисление правой части в соотношении (4). Однако расчет здесь можно начать только с узла x ₄. Значения y ₁, y ₂, y ₃ необходимые для вычисления y ₄ нужно определять одношаговым методом, что несколько усложняет алгоритм вычисления. Кроме того, метод Адамса не позволяет изменять шаг h в процессе счета, что доступно для одношаговых методов.

Дата добавления: 2014-01-04