Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина считается теоретически заданной, если известны все возможные значения , которые она принимает, а также вероятности , с которыми эти значения принимаются.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие значений случайной величины и вероятностей, с которыми эти значения принимаются.

Табличное задание закона распределения имеет следующий вид:

			…
			…

У

Учитывая, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно из возможных значений , заключаем, что события образуют полную группу несовместных событий, т.е.

или, для любого закона распределения выполняется нормирующее свойство:

Пример 2.1.1.

Пусть случайная величина характеризует результат сдачи некоторого экзамена. В этом случае примером табличного задания закона распределения случайной величины может служить следующая таблица:

	0,2	0,3	0,4	0,1

П

Проверка нормировки: 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,1 = 1

Графическое задание данного закона распределения показано на рис. 1.1..

Рис. 2.1.1.

2.1.3.Функция распределения.

Функцией распределения называют функцию , численно равную вероятности того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее :

.

Рассмотрим значение функции распределения для некоторого аргумента , указав значение аргумента на оси . Тогда для дискретной случайной величины, принимающей значения , значение функции распределения для аргумента можно вычислить как сумму вероятностей всех значений случайной величины, лежащих на оси левее аргумента . Так, если левее аргумента лежат значения случайной величины , то

Если случайная величина принимает значения , то функция распределения имеет вид:

Пример 2.1.2. Найти функцию распределения для дискретной случайной величины, рассмотренной в примере 2.1.1.

Решение. Функция распределения имеет следующий вид:

График функции показан на рис. 2.1.2.

Рис. 2.1.2.

Приведём свойства функции распределения :

Свойство следует из определения функции распределения с учётом того, что вероятность любого события есть неотрицательная величина, не превышающая единицу.

Для любых и выполняется равенство:

.

Данное соотношение позволяет на основании функции распределения вычислить вероятность попадания дискретной случайной величины в любой промежуток .

Функция - неубывающая функция.

Если дискретная случайная величина принимает значения , где - наименьшее значение, а - наибольшее значение случайной величины, то

.

2.1.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Для решения ряда задач не требуется знание таких характеристик, как закон распределения или функция распределения. Во многих случаях достаточно располагать более простыми (хотя и менее информативными) характеристиками случайной величины. К таким характеристикам относятся числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (СКО).

Математическим ожиданием случайной величины называется число, характеризующее среднее значение случайной величины.

В некоторых случаях математическое ожидание называют центром распределения случайной величины.

Пусть имеется дискретная случайная величина , принимающая значения с вероятностями соответственно. Тогда

.

Пример 2.1.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, рассмотренной в примере 2.1.1.

Решение.

Для случайной величины, рассмотренной в примере 1.1., математическое ожидание характеризует среднюю оценку, полученную на экзамене. В этом случае

.

Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам:

1., где - произвольная постоянная величина;

2.;

3..

Две случайные величины и называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина.

В противном случае случайные величины называются зависимыми.

4., если случайные величины и независимы.

На практике встречаются случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко отличающиеся значения. У одних из этих величин отклонение значений от математического ожидания (или степень рассеивания) мало, для других же оно велико.

Дисперсией случайной величины называется число, характеризующее степень рассеивания случайной величины около математического ожидания.

Отклонение случайной величины от математического ожидания характеризует случайная величина . Однако, нетрудно заметить, что случайная величина может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от того, правее или левее лежит значение случайной величины по отношению к математическому ожиданию на оси . Поэтому, для того, чтобы характеризовать отклонение случайной величины от математического ожидания неотрицательной величины, целесообразно перейти к случайной величине . Тогда среднее отклонение случайной величины легко рассматривать как математическое ожидание случайной величины :

.

Эта величина называется дисперсией случайной величины и характеризует степень рассеивания случайной величины около математического ожидания.

Для дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями дисперсия вычисляется по формуле

.

Для вычисления дисперсии удобно пользоваться следующей формулой:

, причём для дискретной случайной величины

Пример 2.1.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины, рассмотренной в примере 2.1.1.

Решение.

;

.

Дисперсия имеет следующие свойства:

1. Для любой случайной величины ;

2. , где - постоянная величина;

3. ;

4. , если случайные величины и независимые.

Если случайная величина и её математическое ожидание имеют одинаковую размерность, то дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Поэтому, в тех случаях, когда требуется, чтобы оценка рассеивания имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение (СКО), которое равно

Заметим, что СКО определено для любой случайной величины, что следует из свойства дисперсии.

Так, для случайной величины, рассмотренной в примере 2.1.1,

.

Дата добавления: 2014-01-04