Случайной величины

Плотность распределения вероятностей непрерывной

Непрерывная случайная величина X принимает любое значение из интервала, конечного или бесконечного.

Введем (по аналогии с тем, как в механике вводится понятие плотности массы) понятие плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Рассмотрим для любого некоторый бесконечно малый интервал и запишем вероятность попадания случайной величины Х в интервал как

,

и будем считать, что данное равенство выполняется с точностью до бесконечно малых более высокого порядка.

Тогда для любого конечного интервала

(2.2.1)

Функция, удовлетворяющая свойству (2.1), называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х.

Из соотношения (2.2.1) следует смысл плотности распределения: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения и прямыми и (Рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1

Свойства плотности распределения:

1. при всех значениях ;

2. .

Свойство 2 выражает нормирующее соотношение для плотности распределения f (x) и геометрически означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью OX равна единице.

Пример 2.2.1 (Равномерное распределение).

График плотности распределения показан на рис. 2.2.2.

Рис. 2.2.2.

Определим высоту прямоугольника исходя из нормирующего соотношения 2⁰, то есть из условия, что площадь этого прямоугольника равна единице:

.

Дата добавления: 2014-01-04