Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Рассмотрим систему n испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании. В этом случае вероятность m успехов вычисляется по формуле Бернулли, прямое использование которой затруднено при больших n (n >10).

Рассмотрим приближенную формулу для вычисления вероятности того, что число успехов содержится в пределах отдо : .

Представим величину m как сумму случайных величин ξ ₁+ ξ ₂+…+ ξ_n (индикаторы успеха):

m = ξ ₁+ ξ ₂+…+ ξ_n

Учитывая, что M [ m ]= np, D [ m ]= npq, введем случайную величину

,

распределение которой, согласно центральной предельной теореме, асимптотически (при n →∞) приближается к стандартному нормальному распределению N (0;1²).

Поэтому

.

Эта формула называется интегральной теоремой Муавра-Лапласа.

Пример 3.1..2. Серия Бернулли содержит n =100 испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании равна р =0,8. Найти вероятность того, что число успехов 75≤ m ≤90.

Решение:

Глава 2.2. Закон больших чисел.

Дата добавления: 2014-01-04