Моментные функции случайных процессов

Менее детальные, но, как правило, вполне удовлетворяющие в практическом смысле характеристики случайного процесса можно получить, вычисляя моменты тех случайных величин, которые получаются в сечениях случайного процесса. Поскольку в общем случае эти моменты зависят от времени, эти характеристики получили название моментных функций.

Рассмотрим случайный процесс и произвольное сечение . Получим случайную величину . Вычисляя математическое ожидание этой случайной величины и рассматривая различные значения , получим некоторую функцию , которая называется математическим ожиданием случайного процесса :

Геометрически математическое ожидание можно истолковать как некоторую среднюю кривую, около которой группируются другие кривые из ансамбля реализации случайного процесса.

Математическое ожидание случайного процесса имеет следующие свойства (, -случайные процессы, - неслучайная функция времени):

1. ;

2. ;

3. .

Рассматривая случайную величину в сечении t, можно вычислить дисперсию этой случайной величины, аналогично тому как вычислялось математическое ожидание этой случайной величины:

.

Таким образом, дисперсией случайного процесса называют неслучайную неотрицательную функцию , значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно дисперсии случайной величины, соответствующей этому сечению.

Дисперсия случайного процесса имеет следующие свойства (, -случайные процессы, - неслучайная функция времени):

1. ;

2. ;

3. .

Дисперсия для любого сечения характеризует степень рассеяния значений случайного процесса.

Для более полной характеристики случайного процесса необходимо оценить степень зависимости между двумя его произвольными сечениями.

Рассмотрим процесс , называемый флюктуацией случайного процесса. Тогда корреляционной функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов и , значение которой равно коэффициенту ковариации случайных величин в этих сечениях:

При равных значениях аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса:

Корреляционная функция имеет следующие свойства (, -случайные процессы, - неслучайная функция времени):

1.

2. Если , то ;

3. Если , то .

Нормированной корреляционной функцией называется функция

, где и .

Пример 5.1.1. Случайный процесс , где- случайная величина M[U]=3, D[U]=2. Найти моментные характеристики случайного процесса:

Решение:

;

.

Если , то

5.2. Стационарные случайные процессы

Дата добавления: 2014-01-04